Question

10．已知c＞0，設命題p：$\sqrt{1-{{log}_2}c}$＜1，命題q：當x∈[$\frac{1}{2}，2}$]，函數(shù)g（x）=cx²-x+c＞0恒成立．
（1）若p為真命題，求c的取值范圍；
（2）若p或q為真命題，p且q是假命題，求c的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由c＞0，命題p：$\sqrt{1-{{log}_2}c}$＜1，則0＜log₂c≤1，解出即可得出．
（2）命題q：當x∈[$\frac{1}{2}，2}$]，函數(shù)g（x）=cx²-x+c＞0恒成立，化為$x+\frac{1}{x}$$＞\frac{1}{c}$，利用基本不等式的性質(zhì)可得$2＞\frac{1}{c}$，解得c范圍．由p或q為真命題，p且q是假命題，可得p與q必然一真一假，即可得出．

解答 解：（1）由c＞0，命題p：$\sqrt{1-{{log}_2}c}$＜1，則0＜log₂c≤1，解得1＜c≤2．∴c的取值范圍是（1，2]．
（2）命題q：當x∈[$\frac{1}{2}，2}$]，函數(shù)g（x）=cx²-x+c＞0恒成立，化為$x+\frac{1}{x}$$＞\frac{1}{c}$，∴$2＞\frac{1}{c}$，解得c$＞\frac{1}{2}$．
∵p或q為真命題，p且q是假命題，
∴p與q必然一真一假，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1＜c≤2}\\{0＜c≤\frac{1}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{0＜c≤1或c＞2}\\{c＞\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
解得$\frac{1}{2}＜c≤1$或c＞2．
綜上c的取值范圍是：$\frac{1}{2}＜c≤1$或c＞2．

點評 本題考查了不等式解法、函數(shù)的性質(zhì)、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．