Question

14．在兩坐標軸上截距相等且與圓：${x^2}+{（{y-\sqrt{2}}）^2}=1$相切的直線有3條．

Answer 1

分析 分直線經(jīng)過原點、直線不經(jīng)過原點兩種情況，分別設(shè)出直線的方程，再根據(jù)心（0，$\sqrt{2}$）到直線的距離等于半徑1，求出待定系數(shù)，從而得出結(jié)論．

解答 解：①當直線經(jīng)過原點時，設(shè)方程為y=kx，由圓心（0，$\sqrt{2}$）到直線的距離等于半徑1，
可得$\frac{|0-\sqrt{2}|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，求得k=±1，故此時，滿足條件的直線有2條．
②當直線不經(jīng)過原點時，設(shè)直線的方程為x+y=a，a≠0，
由圓心（0，$\sqrt{2}$）到直線的距離等于半徑1，可得$\frac{|0+\sqrt{2}-a|}{\sqrt{2}}$=1，求得a=0（舍去），或a=2$\sqrt{2}$，
綜上可得，滿足條件的直線共有3條，
故答案為：3．

點評 本題主要考查直線和圓相切的性質(zhì)，點到直線的距離公式的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．