Question

4．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{n}^{2}}=1（m＞n＞0）$與雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（α＞0，b＞0）有相同的焦點(diǎn)，點(diǎn)A是兩曲線在第一象限的交點(diǎn)，F(xiàn)是它們的右焦點(diǎn)，且AF⊥x軸．若橢圓的離心率為$\frac{1}{2}$，則雙曲線的離心率為（　�。�

• A． 2
• B． $\sqrt{5}$
• C． 2$\sqrt{3}$
• D． 4

Answer 1

分析 設(shè)F（c，0），由AF⊥x軸，把F分別代入橢圓與雙曲線方程可得：化為${n}^{2}（1-\frac{{c}^{2}}{{m}^{2}}）$=$（\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}-1）^{2}$，又c²=m²-n²=a²+b²，可得：$\frac{{n}^{2}}{m}=\frac{^{2}}{a}$．由$\sqrt{1-\frac{{n}^{2}}{{m}^{2}}}$=$\frac{1}{2}$，可得$\frac{{n}^{2}}{{m}^{2}}$=$\frac{3}{4}$．聯(lián)立解得a=$\frac{m}{4}$，b=$\frac{n}{2}$，b²=$\frac{3{m}^{2}}{16}$，即可得出雙曲線的離心率=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$．

解答 解：設(shè)F（c，0），由AF⊥x軸，
把F分別代入橢圓與雙曲線方程可得：
$\frac{{c}^{2}}{{m}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{n}^{2}}=1$，$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，
化為${n}^{2}（1-\frac{{c}^{2}}{{m}^{2}}）$=$（\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}-1）^{2}$，
又c²=m²-n²=a²+b²，
可得：$\frac{{n}^{2}}{m}=\frac{^{2}}{a}$，
∵$\sqrt{1-\frac{{n}^{2}}{{m}^{2}}}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{{n}^{2}}{{m}^{2}}$=$\frac{3}{4}$．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+^{2}={m}^{2}-{n}^{2}}\\{^{2}=\frac{a{n}^{2}}{m}}\\{4{n}^{2}=3{m}^{2}}\end{array}\right.$，
解得a=$\frac{m}{4}$，b=$\frac{n}{2}$，b²=$\frac{3{m}^{2}}{16}$，
∴雙曲線的離心率=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1+3}$=2．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．