Question

6．已知a∈R，不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x-y≥-1}\\{x+2y≥2}\\{3x+ay≤6}\end{array}\right.$表示的平面區(qū)域為Ω，若a=2，則Ω的面積為$\frac{6}{5}$，若Ω為三角形，則實數(shù)a的取值范圍為（-3，6）．

Answer 1

分析 作出可行域，計算交點坐標(biāo)，得出三角形的邊長和高，求出面積；根據(jù)3x+ay=6恒過點（2，0）作直線與另兩條邊界都相交，判斷直線3x+ay=6的斜率的范圍，列出不等式解出a的范圍．

解答 解：（1）a=2時，作出可行域如圖：

解方程組$\left\{\begin{array}{l}{3x+2y=6}\\{x+2y=2}\end{array}\right.$，得P（2，0）．
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{x-y=-1}\\{3x+2y=6}\end{array}\right.$，得A（$\frac{4}{5}$，$\frac{9}{5}$）．
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{x-y=-1}\\{x+2y=2}\end{array}\right.$，得B（0，1）．
∴|AB|=$\sqrt{\frac{16}{25}+\frac{16}{25}}$=$\frac{4\sqrt{2}}{5}$．
P到直線x-y+1=0的距離d=$\frac{|2+1|}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$．
∴平面區(qū)域Ω的面積S=$\frac{1}{2}$|AB|•d=$\frac{1}{2}×\frac{4\sqrt{2}}{5}×\frac{3\sqrt{2}}{2}=\frac{6}{5}$．
（2）直線3x+ay=6恒過點P（2，0）．

若a=0，顯然區(qū)域Ω為三角形，符合題意，
若a＞0，則-$\frac{3}{a}$＜-$\frac{1}{2}$，解得0＜a＜6．
若a＜0，則-$\frac{3}{a}$＞1，解得-3＜a＜0．
∴a的取值范圍是（-3，6）．
故答案為：$\frac{6}{5}$，（-3，6）．

點評 本題考查了簡單的線性規(guī)劃，直線斜率與距離公式的應(yīng)用，屬于中檔題．