Question

4．已知函數(shù)f（x）=ln（ax²+2x+1）．
（I）若f（x）的定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若f（x）的值域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義，真數(shù)大于0，即可求出a的范圍．（2）f（x）的值域?yàn)镽，也可以說(shuō)y=ax²+2x+1取遍一切正數(shù)，問(wèn)題得以解決．

解答 解：（1）由f（x）的定義域?yàn)镽，則ax²+2x+1＞0恒成立，…（1分）
若a=0時(shí)，2x+1＞0，x＞-$\frac{1}{2}$，不合題意； …（3分）
所以a≠0；
由 $\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△=4-4a＜0}\end{array}\right.$得：a＞1．…（6分）
（2）由f（x）的值域?yàn)镽，所以{y|y=ax²+2x+1，x∈R}?（0，+∞），…（7分）
（也可以說(shuō)y=ax²+2x+1取遍一切正數(shù)）
①若a=0時(shí)，y=2x+1可以取遍一切正數(shù)，符合題意，…（9分）
②若a≠0時(shí)，需 $\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△=4-4a≥0}\end{array}\right.$，即0＜a≤1； …（12分）
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為[0，1]．…（13分）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的定義和二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．