Question

19．已知向量$\overrightarrow{a}$=（sinx+cosx，-cosx），$\overrightarrow$=（sinx+cosx，sinx），f（x）=$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow$
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{3π}{8}$]時，求函數(shù)f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用向量數(shù)量積的公式，結(jié)合倍角公式進行化簡即可求函數(shù)f（x）的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）若x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{3π}{8}$]時，求出角2x的取值范圍，結(jié)合三角函數(shù)的單調(diào)性即可求函數(shù)f（x）的最大值和最小值．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow$=（sinx+cosx）²-sinxcosx=1+sinxcosx=1+$\frac{1}{2}$sin2x，
則函數(shù)的周期T=$\frac{2π}{2}=π$，
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
得kπ-$\frac{π}{4}$≤x≤kπ+$\frac{π}{4}$，k∈Z，
即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-$\frac{π}{4}$，kπ+$\frac{π}{4}$]，k∈Z；
（Ⅱ）若x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{3π}{8}$]時，2x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{3π}{4}$]，
此時當2x=$\frac{π}{2}$時，函數(shù)取得最大值為y=1+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，
當2x=-$\frac{π}{3}$時，函數(shù)取得最小值為y=1+$\frac{1}{2}×（-\frac{\sqrt{3}}{2}）$=1-$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

點評 本題主要考查三角函數(shù)的化簡和性質(zhì)的應(yīng)用，利用向量的數(shù)量積公式以及倍角公式進行化簡是解決本題的關(guān)鍵．