Question

4．小明同學制作了一個簡易的網(wǎng)球發(fā)射器，可用于幫忙練習定點接發(fā)球，如圖1所示，網(wǎng)球場前半?yún)^(qū)、后半?yún)^(qū)總長為23.77米，球網(wǎng)的中間部分高度為0.914米，發(fā)射器固定安裝在后半?yún)^(qū)離球網(wǎng)底部8米處中軸線上，發(fā)射方向與球網(wǎng)底部所在直線垂直．
為計算方便，球場長度和球網(wǎng)中間高度分別按24米和1米計算，發(fā)射器和網(wǎng)球大小均忽略不計．如圖2所示，以發(fā)射器所在位置為坐標原點建立平面直角坐標系xOy，x軸在地平面上的球場中軸線上，y軸垂直于地平面，單位長度為1米．已知若不考慮球網(wǎng)的影響，網(wǎng)球發(fā)射后的軌跡在方程$y=\frac{1}{2}kx-\frac{1}{80}（1+{k^2}）{x^2}（k＞0）$表示的曲線上，其中k與發(fā)射方向有關．發(fā)射器的射程是指網(wǎng)球落地點的橫坐標．
（Ⅰ）求發(fā)射器的最大射程；
（Ⅱ）請計算k在什么范圍內(nèi)，發(fā)射器能將球發(fā)過網(wǎng)（即網(wǎng)球飛行到球網(wǎng)正上空時，網(wǎng)球離地距離大于1米）？若發(fā)射器將網(wǎng)球發(fā)過球網(wǎng)后，在網(wǎng)球著地前，小明要想在前半?yún)^(qū)中軸線的正上空選擇一個離地面2.55米處的擊球點正好擊中網(wǎng)球，試問擊球點的橫坐標a最大為多少？并請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由$y=\frac{1}{2}kx-\frac{1}{80}（1+{k^2}）{x^2}（k＞0）$，可令y=0，求得x，再由基本不等式可得最大射程；
（（Ⅱ）網(wǎng)球發(fā)過球網(wǎng)，滿足x=8時y＞1，解不等式可得k的范圍，再由a²k²-40ak+a²+204=0（a≠0），運用判別式非負，解不等式即可得到結論．

解答 解：（Ⅰ）由$\frac{1}{2}$kx-$\frac{1}{80}$（1+k²）x²=0（k＞0），
可得：x=$\frac{40k}{1+{k}^{2}}$或x=0，
由x=$\frac{40}{k+\frac{1}{k}}$≤$\frac{40}{2}$=20，當且僅當k=1時取等號．
因此，最大射程為20米；             
（Ⅱ）網(wǎng)球發(fā)過球網(wǎng)，滿足x=8時y＞1．
所以4k-$\frac{4}{5}$（1+k²）＞1，即4k²-20k+9＜0，
因此$\frac{1}{2}$＜k＜$\frac{9}{2}$，
依題意：關于k的方程$\frac{1}{2}$ka-$\frac{1}{80}$（1+k²）a²=2.55在（$\frac{1}{2}$，$\frac{9}{2}$）上有實數(shù)解，
即a²k²-40ak+a²+204=0（a≠0），
△=1600a²-4a²（a²+204）≥0
得a≤14，
此時k=$\frac{10}{7}$，球過網(wǎng)了，
所以擊球點的橫坐標a最大為14．

點評 本題考查函數(shù)模型的運用，考查二次函數(shù)和二次不等式的解法，同時考查基本不等式的運用：求最值，屬于中檔題．