Question

2．已知函數(shù)f（x）=1-$\frac{2}{1{0}^{x}+1}$．
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）求f（x）的值域；
（3）用定義證明f（x）在（-∞，+∞）上的單調(diào)性．

Answer 1

分析 （1）利用奇函數(shù)的定義，判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）利用10^x+1＞1，0＜$\frac{2}{1{0}^{x}+1}$＜2，即可求f（x）的值域；
（3）用定義證明f（x）在（-∞，+∞）上的單調(diào)性即可．

解答 （1）解：f（x）=$\frac{1{0}^{x}-1}{1{0}^{x}+1}$，
∴f（-x）=$\frac{1{0}^{-x}-1}{1{0}^{-x}+1}$=-f（x），
∴f（x）是奇函數(shù)；
（2）解：∵10^x+1＞1，∴0＜$\frac{2}{1{0}^{x}+1}$＜2，
∴-1＜1-$\frac{2}{1{0}^{x}+1}$＜1，
∴f（x）的值域是（-1，1）；
（3）證明：任取x₁、x₂∈（-∞，+∞），且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=$\frac{2（1{0}^{{x}_{1}}-1{0}^{{x}_{2}}）}{（1{0}^{{x}_{2}}+1）（1{0}^{{x}_{1}}+1）}$＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）=1-$\frac{2}{1{0}^{x}+1}$區(qū)間（-∞，+∞）上是增函數(shù)．

點評 本題考查函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．