Question

17．已知平面向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$，$|{\overrightarrow a}|=2$，$|{\overrightarrow b}|=\frac{1}{3}|{\overrightarrow a}|$，$|{\overrightarrow a-\frac{1}{2}\overrightarrow b}|=\frac{{\sqrt{43}}}{3}$，則$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角為$\frac{2π}{3}$．

Answer 1

分析 把$|{\overrightarrow a-\frac{1}{2}\overrightarrow b}|=\frac{{\sqrt{43}}}{3}$兩邊平方，然后結(jié)合平面向量的數(shù)量積求得$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角．

解答 解：由$|{\overrightarrow a-\frac{1}{2}\overrightarrow b}|=\frac{{\sqrt{43}}}{3}$，得$（\overrightarrow{a}-\frac{1}{2}\overrightarrow）^{2}=\frac{43}{9}$，
即$|\overrightarrow{a}{|}^{2}-\overrightarrow{a}•\overrightarrow+\frac{1}{4}|\overrightarrow{|}^{2}=\frac{43}{9}$，
又$|{\overrightarrow a}|=2$，$|{\overrightarrow b}|=\frac{1}{3}|{\overrightarrow a}|$，
∴$4-\overrightarrow{a}•\overrightarrow+\frac{1}{4}×\frac{4}{9}=\frac{43}{9}$，即$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=-\frac{2}{3}$．
∴$|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow|cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞=-\frac{2}{3}$，
則$\frac{4}{3}cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞=-\frac{2}{3}$，∴$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞=-\frac{1}{2}$，
∴$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角為$\frac{2π}{3}$．
故答案為：$\frac{2π}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面向量數(shù)量積的求法，是基礎(chǔ)的計(jì)算題．