Question

1．如圖，在長方形ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=3，BB₁=4，連接B₁C，過B作BE⊥B₁C交CC₁于E，交B₁C于F．
（1）求證：A₁C⊥平面BED；
（2）求A₁B與平面BDE所成角的余弦值；
（3）求三棱錐C-BDE的體積．

Answer 1

分析 （1）運用線面垂直的性質(zhì)和判定，即可得證；
（2）由（1）可得∠BA₁C為A₁B與平面BDE所成角的余角，通過解直角三角形，即可得到所求；
（3）由三棱錐C-BDE的體積即為三棱錐E-BDC的體積，結(jié)合體積公式，計算即可得到．

解答 解：（1）證明：在正方形ABCD中，AC⊥BD，
BD⊥AA₁，
即有BD⊥平面AA₁C，
即BD⊥A₁C，
BE⊥B₁C，BE⊥A₁B₁，
即有BE⊥平面A₁B₁C，
即有BE⊥A₁C，
則A₁C⊥平面BED；
（2）由（1）可得A₁C⊥平面BED，
在直角△A₁BC中，BC=3，A₁B=5，A₁C=$\sqrt{34}$，
∠BA₁C為A₁B與平面BDE所成角的余角，
則A₁B與平面BDE所成角的余弦值為$\frac{BC}{{A}_{1}C}$=$\frac{3}{\sqrt{34}}$=$\frac{3\sqrt{34}}{34}$；
（3）三棱錐C-BDE的體積即為三棱錐E-BDC的體積，
由于EC⊥平面BDC，
在矩形BCC₁B₁中，tan∠EBC•tan∠BCB₁=1，
即有$\frac{EC}{3}$•$\frac{4}{3}$=1，可得EC=$\frac{9}{4}$，
則V_E-BCD=$\frac{1}{3}$•EC•S_△BCD=$\frac{1}{3}$•$\frac{9}{4}$•$\frac{1}{2}$•3•3=$\frac{27}{8}$．
則三棱錐C-BDE的體積為$\frac{27}{8}$．

點評 本題考查線面垂直的判定和線面所成角的求法，以及三棱錐的體積的求法，考查等積法的運用，屬于中檔題．