Question

5．已知函數(shù)f（x）=|x-1|+|x-2|，記f（x）的最小值為k．
（1）解不等式f（x）≤x+1；
（2）是否存在正數(shù)a、b，同時(shí)滿足：2a+b=k，$\frac{1}{a}$+$\frac{2}$=4？并證明．

Answer 1

分析 （1）對(duì)x討論，當(dāng)x≥2時(shí)，當(dāng)1＜x＜2時(shí)，當(dāng)x≤1時(shí)，去掉絕對(duì)值，解不等式，最后求并集，即可得到所求解集；
（2）運(yùn)用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)可得f（x）的最小值1，假設(shè)存在正數(shù)a、b，同時(shí)滿足：2a+b=1，$\frac{1}{a}$+$\frac{2}$=4．消去b，解關(guān)于a的方程，即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）f（x）≤x+1，即為：
|x-1|+|x-2|≤x+1，
當(dāng)x≥2時(shí)，x-1+x-2≤x+1，即x≤4，可得2≤x≤4；
當(dāng)1＜x＜2時(shí)，x-1+2-x≤x+1，即x≥0，可得1＜x＜2；
當(dāng)x≤1時(shí)，1-x+2-x≤x+1，即x≥$\frac{2}{3}$，可得$\frac{2}{3}$≤x≤1．
綜上可得，原不等式的解集為[$\frac{2}{3}$，4]；
（2）不存在正數(shù)a、b，同時(shí)滿足：2a+b=1，$\frac{1}{a}$+$\frac{2}$=4．
理由如下：函數(shù)f（x）=|x-1|+|x-2|≥|（x-1）-（x-2）|=1，
當(dāng)且僅當(dāng)（x-1）（x-2）≤0，即1≤x≤2時(shí)，f（x）取得最小值1，
假設(shè)存在正數(shù)a、b，同時(shí)滿足：2a+b=1，$\frac{1}{a}$+$\frac{2}$=4．
將b=1-2a代入第二式，可得$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{1-2a}$=4，
即為8a²-4a+1=0，
由判別式為16-4×8×1=-16＜0，
可得方程無(wú)實(shí)數(shù)解．
則不存在正數(shù)a、b，同時(shí)滿足：2a+b=1，$\frac{1}{a}$+$\frac{2}$=4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查絕對(duì)值不等式的解法和存在性問(wèn)題的解法，注意運(yùn)用分類討論的思想方法和假設(shè)存在，推理論證得出矛盾，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．