Question

18．如圖，點(diǎn)A，B分別在射線l₁：y=2x（x≥0），l₂：y=-2x（x≥0）上運(yùn)動，且S_△AOB=4．
（1）求x₁•x₂；
（2）求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程；
（3）判定中點(diǎn)M到兩射線的距離積是否是為定值，若是則找出該值并證明；若不是定值說明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)M（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），∠AOB=2θ，由y=2x，得tanθ=k=2，從而求出sin2θ，由|OA|=$\sqrt{5}{x}_{1}$，|OB|=$\sqrt{5}{x}_{2}$，利用S_△AOB=4，能求出x₁•x₂的值．
（2）由M（x，y）是A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）的中點(diǎn)，得$4{x}_{1}•{x}_{2}=4{x}^{2}-{y}^{2}$，由此能求出線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程．
（3）設(shè)中點(diǎn)M到射線OA，OB的距離分別為d₁，d₂，由此能推導(dǎo)出中點(diǎn)M到兩射線的距離積為定值．

解答 解：（1）設(shè)M（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），∠AOB=2θ，
由y=2x，得tanθ=k=2，
∴sin2θ=$\frac{2tanθ}{1+ta{n}^{2}θ}$=$\frac{4}{5}$，
∵|OA|=$\sqrt{5}{x}_{1}$，|OB|=$\sqrt{5}{x}_{2}$，
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$|OA|•|OB|•sin2θ=$\frac{1}{2}×5{x}_{1}{x}_{2}×\frac{4}{5}$=4，
解得x₁•x₂=2．
（2）∵M(jìn)（x，y）是A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）的中點(diǎn)，
∴x₁+x₂=2x，y₁+y₂=2y，且y₁=2x₁，y₂=-2x₂，
聯(lián)立，得$4{x}_{1}•{x}_{2}=4{x}^{2}-{y}^{2}$，
并代入x₁•x₂=2，得4x²-y²=8，x＞0．
∴線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程為4x²-y²=8，x＞0．
（3）設(shè)中點(diǎn)M到射線OA，OB的距離分別為d₁，d₂，
則$\left\{\begin{array}{l}{rhvfv9x_{1}=\frac{|2x-y|}{\sqrt{5}}}\\{jlvxnbj_{2}=\frac{|2x+y|}{\sqrt{5}}}\end{array}\right.$，∴d₁•d₂=$\frac{|2x-y|}{\sqrt{5}}•\frac{|2x+y|}{\sqrt{5}}$=$\frac{|4{x}^{2}-{y}^{2}|}{5}=\frac{8}{5}$．
∴中點(diǎn)M到兩射線的距離積為定值$\frac{8}{5}$．…（12分）

點(diǎn)評 本題考查線段的中點(diǎn)的軌跡方程的求法，考查中點(diǎn)到兩射線的距離積是否為定值的判斷與證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意正切二倍角公式的合理運(yùn)用．