Question

4．已知定點(diǎn)P（0，1），動(dòng)點(diǎn)Q滿(mǎn)足線(xiàn)段PQ的垂直平分線(xiàn)與拋物線(xiàn)y=x²相切，則Q的軌跡方程是x²+2（y+1）（y-1）²+2x²（y-1）=0．

Answer 1

分析 求出線(xiàn)段PQ的垂直平分線(xiàn)，代入拋物線(xiàn)y=x²，利用△=0，即可求出Q的軌跡方程．

解答 解：設(shè)Q（a，b），則線(xiàn)段PQ的垂直平分線(xiàn)方程為y-$\frac{b+1}{2}$=-$\frac{a}{b-1}$（x-$\frac{a}{2}$），即y=-$\frac{a}{b-1}$x+$\frac{b+1}{2}$+$\frac{{a}^{2}}{2（b-1）}$
代入y=x²，整理可得x²+$\frac{a}{b-1}$x-$\frac{b+1}{2}$-$\frac{{a}^{2}}{2（b-1）}$=0，
∵動(dòng)點(diǎn)Q滿(mǎn)足線(xiàn)段PQ的垂直平分線(xiàn)與拋物線(xiàn)y=x²相切，
∴△=（$\frac{a}{b-1}$）²-4[-$\frac{b+1}{2}$-$\frac{{a}^{2}}{2（b-1）}$]=0，即a²+2（b+1）（b-1）²+2a²（b-1）=0，
∴Q的軌跡方程是x²+2（y+1）（y-1）²+2x²（y-1）=0，
故答案為：x²+2（y+1）（y-1）²+2x²（y-1）=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查軌跡方程，考查直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，求出線(xiàn)段PQ的垂直平分線(xiàn)方程是關(guān)鍵．