Question

15．已知函數f（x）=a-$\frac{1}{{{2^x}+1}}$．
（1）若f（x）為奇函數，求a的值；
（2）證明：不論a為何值f（x）在R上都單調遞增；
（3）在（1）的條件下，求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）根據f（x）為奇函數，則f（0）=0，建立方程關系即可求a的值；
（2）根據函數單調性的定義即可證明：不論a為何值f（x）在R上都單調遞增；
（3）在（1）的條件下，結合指數函數的單調性即可求f（x）的值域．

解答 解：（1）∵f（x）的定義域為R，且f（x）是奇函數，…（1分）
則f（0）=0，f（0）=$a-\frac{1}{{{2^0}+1}}=a-\frac{1}{2}$=0（2分）
∴$a=\frac{1}{2}$…（3分）  經檢驗$a=\frac{1}{2}$滿足題意．…（4分）．（利用定義也可）
（2）設x₁＜x₂，（…5分）
則f（x₁）-f（x₂）=$（a-\frac{1}{{{2^{x_1}}+1}}）-$$（a-\frac{1}{{{2^{x_2}}+1}}）$=-$（\frac{1}{{{2^{x_1}}+1}}-$$\frac{1}{{2}^{{x}_{2}}+1}）$
=-$\frac{{2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}}{（{2}^{{x}_{1}}+1）（{2}^{{x}_{2}}+1）}$，
∵x₁＜x₂
∴∴${2}^{{x}_{2}}$-${2}^{{x}_{1}}$＞0，
則f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
即不論a為何值f（x）在R上都單調遞增．
（3）由（1）知$f（x）=\frac{1}{2}-\frac{1}{{{2^x}+1}}$，
∵2^x+1＞1，0＜$\frac{1}{{2}^{x}+1}$＜1，…（9分），
∴$-1＜-\frac{1}{{{2^x}+1}}＜0$，∴$-\frac{1}{2}＜f（x）＜\frac{1}{2}$…（11分）
則f（x）的值域為$（-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}）$．…（12分）

點評 本題主要考查函數奇偶性和單調性的判斷和應用，利用定義法是解決本題的關鍵．