Question

2．設函數(shù)f（x）=|cos2x|-2sin²x+m，x∈[0，π]，其中m為常數(shù)；
①當$f（\frac{5π}{12}）=0$時，則實數(shù)m的值是1
②當f（x）恰有兩個不同的零點時，則實數(shù)m的取值范圍是-1≤m＜1．

Answer 1

分析 ①將x=$\frac{5π}{12}$代入，構(gòu)造關(guān)于m的方程，解得m的值；
②當f（x）恰有兩個不同的零點時，函數(shù)g（x）=|cos2x|-2sin²x的圖象與函數(shù)y=-m有兩個交點，數(shù)形結(jié)合可得m的范圍．

解答 解：①當$f（\frac{5π}{12}）=0$時，
|cos$\frac{5π}{6}$|-2sin²$\frac{5π}{12}$+m=-cos$\frac{5π}{6}$+cos$\frac{5π}{6}$+m-1=0，
解得：m=1；
令g（x）=|cos2x|-2sin²x=|cos2x|+cos2x-1=$\left\{\begin{array}{l}-1，cos2x≤0\\ 2cos2x-1，cos2x＞0\end{array}\right.$，
則函數(shù)g（x）的圖象如下圖所示：

由圖可得：當f（x）恰有兩個不同的零點時，函數(shù)g（x）的圖象與函數(shù)y=-m有兩個交點，
故-1＜-m≤1，
即-1≤m＜1．
故答案為：①1；②-1≤m＜1

點評 本題考查的知識點是函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系，數(shù)形結(jié)合思想，難度中檔．