Question

10．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的離心率e=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
（1）若$\frac{2{a}^{2}}{c}$=3$\sqrt{2}$，求橢圓方程；
（2）直線l過(guò)點(diǎn)C（-1，0）交橢圓于A、B兩點(diǎn)，且滿足：$\overrightarrow{CA}$=3$\overrightarrow{BC}$，試求△OAB面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用橢圓的離心率公式和a，b，c的關(guān)系，解得a，b，進(jìn)而得到橢圓方程；
（2）設(shè)直線l的方程為：x=my-1，與橢圓的方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系，利用弦長(zhǎng)公式可得弦弦長(zhǎng)|AB|，利用點(diǎn)到直線的距離公式可得原點(diǎn)到直線l的距離，再利用S_△OAB=$\frac{1}{2}$d|AB|，結(jié)合$\overrightarrow{CA}$=3$\overrightarrow{BC}$，運(yùn)用向量共線的坐標(biāo)表示，可得m²=6，即可得到所求值．

解答 解：（1）e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，$\frac{2{a}^{2}}{c}$=3$\sqrt{2}$，
可得a=$\sqrt{3}$，c=$\sqrt{2}$，b=1，
即有橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1；
（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)C（-1，0）的直線l的方程為x=my-1，
代入橢圓方程可得，（3+m²）y²-2my-2=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
y₁+y₂=$\frac{2m}{3+{m}^{2}}$，y₁y₂=$\frac{-2}{3+{m}^{2}}$，
即有|AB|=$\sqrt{（1+{m}^{2}）[（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}]}$=$\sqrt{（1+{m}^{2}）[\frac{4{m}^{2}}{（3+{m}^{2}）^{2}}-\frac{-8}{3+{m}^{2}}]}$
=$\sqrt{1+{m}^{2}}$•$\frac{2\sqrt{3}\sqrt{2+{m}^{2}}}{3+{m}^{2}}$．
點(diǎn)O到直線l的距離d=$\frac{1}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$．
即有S_△OAB=$\frac{1}{2}$d|AB|=$\frac{\sqrt{3}\sqrt{2+{m}^{2}}}{3+{m}^{2}}$，
由$\overrightarrow{CA}$=3$\overrightarrow{BC}$，可得y₁=-3y₂，
代入韋達(dá)定理，可得m²=6，
則△OAB面積是$\frac{\sqrt{3}•\sqrt{2+6}}{3+6}$=$\frac{2\sqrt{6}}{9}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法，考查直線與橢圓相交問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、弦長(zhǎng)公式、點(diǎn)到直線的距離公式、三角形的面積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．