Question

17．若函數(shù)f（x）=$\frac{{x}^{3}}{3}$-$\frac{a}{2}$x²+x+1在區(qū)間（$\frac{1}{3}$，4）上有極值點，則實數(shù)a的取值范圍是（2，$\frac{17}{4}$）．

Answer 1

分析 求導f′（x）；得到f′（x）=0，（$\frac{1}{3}$，4）有解即可．

解答 解：∵f（x）=$\frac{{x}^{3}}{3}$-$\frac{a}{2}$x²+x+1，
∴f′（x）=x²-ax+1，
∴x²-ax+1=0有兩個解，
則△=a²-4＞0；
故a＞2或a＜-2；
函數(shù)f（x）=$\frac{{x}^{3}}{3}$-$\frac{a}{2}$x²+x+1在區(qū)間（$\frac{1}{3}$，4）上有極值點可化為x²-ax+1=0在區(qū)間（$\frac{1}{3}$，4）有解，
①若x²-ax+1=0在區(qū)間（$\frac{1}{3}$，4）有兩個解，
則滿足f′（$\frac{1}{3}$）＞0且f′（4）＞0，
即$\frac{1}{9}$-$\frac{1}{3}$a+1＞0且16-4a+1＞0，
故a＜$\frac{10}{3}$且a＜$\frac{17}{4}$；
故2＜a＜$\frac{10}{3}$；
②若x²-ax+1=0在區(qū)間（$\frac{1}{3}$，4）內(nèi)只有1個解，
則滿足f′（$\frac{1}{3}$）f′（4）＜0，
即（$\frac{1}{9}$-$\frac{1}{3}$a+1）（16-4a+1）＜0，
即（$\frac{10}{9}$-$\frac{1}{3}$a）（17-4a）＜0，
則（a-$\frac{10}{3}$）（a-$\frac{17}{4}$）＜0，
則$\frac{10}{3}$＜a＜$\frac{17}{4}$；
當a=$\frac{10}{3}$時，f′（x）=x²-$\frac{10}{3}$x+1=$\frac{1}{3}$（x-3）（3x-1），
由f′（x）=0得x=3或x=$\frac{1}{3}$，
此時當x=$\frac{1}{3}$時，函數(shù)f（x）取得極值，
綜上所述，2＜a＜$\frac{17}{4}$．
故答案為：（2，$\frac{17}{4}$）

點評 本題主要考查導數(shù)的應用，利用函數(shù)極值和導數(shù)的關(guān)系進行求解是解決本題的關(guān)鍵．注意要進行分類討論．