Question

12．（普通中學(xué)做）已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{6}}{3}$，過(guò)右焦點(diǎn)F的直線l與C
相交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)l的斜率為1時(shí)，坐標(biāo)原點(diǎn)O到l的距離為2．
（1）求橢圓C的方程；
（2）橢圓C上是否存在一點(diǎn)P，使得當(dāng)l繞F轉(zhuǎn)到某一位置時(shí)，有$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$成立？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)與直線l的方程；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)F（c，0），可得直線l的方程為y=x-c，運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式，求得c，再由離心率公式計(jì)算即可得到a，b，進(jìn)而得到橢圓方程；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x₀，y₀）設(shè)y=k（x-2$\sqrt{2}$）（k≠0），代入橢圓方程得（1+3k²）x²-12$\sqrt{2}$k²x+24k²-12=0，由此運(yùn)用韋達(dá)定理和向量的坐標(biāo)運(yùn)算，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)代入橢圓方程，解得k，即可得到所求．

解答 解：（1）設(shè)F（c，0），可得直線l的方程為y=x-c，
即為x-y-c=0，由坐標(biāo)原點(diǎn)O到l的距離為2，
即有2=$\frac{|c|}{\sqrt{2}}$，解得c=2$\sqrt{2}$，
由e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，可得a=2$\sqrt{3}$，b=2，
即有橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{12}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x₀，y₀），
①當(dāng)直線l的斜率存在，設(shè)其方程為：y=k（x-2$\sqrt{2}$）（k≠0）
由$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+3{y}^{2}=12}\\{y=k（x-2\sqrt{2}）}\end{array}\right.$，消去y得（1+3k²）x²-12$\sqrt{2}$k²x+24k²-12=0．
∴x₁+x₂=$\frac{12\sqrt{2}{k}^{2}}{1+3{k}^{2}}$，
∴y₁+y₂=k（x₁+x₂-4$\sqrt{2}$）=k•（$\frac{12\sqrt{2}{k}^{2}}{1+3{k}^{2}}$-4$\sqrt{2}$）=$\frac{-4\sqrt{2}k}{1+3{k}^{2}}$，
∵$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$，
∴x₀=x₁+x₂=$\frac{12\sqrt{2}{k}^{2}}{1+3{k}^{2}}$，
∴y₀=y₁+y₂=$\frac{-4\sqrt{2}k}{1+3{k}^{2}}$．
將P點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓得（$\frac{12\sqrt{2}{k}^{2}}{1+3{k}^{2}}$）²+3（$\frac{-4\sqrt{2}k}{1+3{k}^{2}}$）²=12，
∴15k⁴+2k²-1=0，∴k²=$\frac{1}{5}$（-$\frac{1}{3}$舍去），即為k=±$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
當(dāng)k=$\frac{\sqrt{5}}{5}$時(shí)，P（$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，-$\frac{\sqrt{10}}{2}$），直線l：x-$\sqrt{5}$y-2$\sqrt{2}$=0，
當(dāng)k=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$時(shí)，P（$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{10}}{2}$），直線l：x+$\sqrt{5}$y-2$\sqrt{2}$=0．
②當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為：x=2$\sqrt{2}$，
依題意，四邊形OAPB為菱形，此時(shí)點(diǎn)P不在橢圓上，
即當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，不適合題意；
綜上所述，存在P，且P（$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，-$\frac{\sqrt{10}}{2}$），直線l：x-$\sqrt{5}$y-2$\sqrt{2}$=0，
或P（$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{10}}{2}$），直線l：x+$\sqrt{5}$y-2$\sqrt{2}$=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓C的方程的求法，探究存在性問(wèn)題的解法，綜合性強(qiáng)，難度大，有一定的探索性，對(duì)數(shù)學(xué)思維能力要求較高，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．