Question

17．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{{3}^{x}-1}$+m．
（1）求實(shí)數(shù)m的值，使f（x）為奇函數(shù)；
（2）對（1）中的f（x），若f^-1（x）是它的反函數(shù)，且方程f^-1（x）+$\frac{1}{x}$=c²+2在[$\frac{5}{8}$，3]上有解．求實(shí)數(shù)c的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由已知得f（-x）=$\frac{1}{{3}^{-x}-1}+m$=$\frac{{3}^{x}}{1-{3}^{x}}$+m=$\frac{1}{1-{3}^{x}}$-m=-f（x），由此能求出m．
（2）由已知得${f}^{-1}（x）+\frac{1}{x}=lo{g}_{3}（\frac{1}{x-\frac{1}{2}}+1）+\frac{1}{x}$，從而f^-1（x）與$\frac{1}{x}$的導(dǎo)數(shù)都小于0，進(jìn)而F（3）≤c²+2≤F（$\frac{5}{8}$），由此能求出實(shí)數(shù)c的取值范圍．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=$\frac{1}{{3}^{x}-1}$+m為奇函數(shù)，
∴f（-x）=$\frac{1}{{3}^{-x}-1}+m$=$\frac{{3}^{x}}{1-{3}^{x}}$+m=$\frac{1}{1-{3}^{x}}$-m=-f（x），
∴$\frac{1-{3}^{x}}{1-{3}^{x}}$=2m，解得m=$\frac{1}{2}$．
（2）由（1）得f（x）=$\frac{1}{{3}^{x}-1}$+$\frac{1}{2}$．
∴3^x=$\frac{2y+1}{2y-1}$，x=$lo{g}_{3}\frac{2y+1}{2y-1}$，
x，y互換，得f^-1（x）=$lo{g}_{3}\frac{2x+1}{2x-1}$=$lo{g}_{3}（\frac{1}{x-\frac{1}{2}}+1）$，
∴${f}^{-1}（x）+\frac{1}{x}=lo{g}_{3}（\frac{1}{x-\frac{1}{2}}+1）+\frac{1}{x}$，
∵f^-1（x）與$\frac{1}{x}$的導(dǎo)數(shù)都小于0，
∴F（x）=${f}^{-1}（x）+\frac{1}{x}$=$lo{g}_{3}（\frac{1}{x-\frac{1}{2}}+1）+\frac{1}{x}$單調(diào)遞減，
∵f^-1（x）+$\frac{1}{x}$=c²+2在[$\frac{5}{8}$，3]上有解，
∴F（3）≤c²+2≤F（$\frac{5}{8}$），
∵F（$\frac{5}{8}$）=$lo{g}_{3}（\frac{1}{\frac{5}{8}-\frac{1}{2}}+1）+\frac{8}{5}$=$\frac{18}{5}$，F(xiàn)（3）=$lo{g}_{3}（\frac{1}{3-\frac{1}{2}}+1）+\frac{1}{3}$=$lo{g}_{3}\frac{7}{5}+\frac{1}{3}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{c}^{2}+2≤\frac{18}{5}}\\{{c}^{2}+2≥lo{g}_{3}\frac{7}{5}+\frac{1}{3}}\end{array}\right.$，
解得-$\frac{2\sqrt{10}}{5}≤c≤\frac{2\sqrt{10}}{5}$．
∴實(shí)數(shù)c的取值范圍是[-$\frac{2\sqrt{10}}{5}$，$\frac{2\sqrt{10}}{5}$]．

點(diǎn)評 本題考查實(shí)數(shù)值的求法，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．