Question

6．設(shè)a，b，c都是正數(shù)，證明不等式$\frac{{a}^{2}}{b+c}$+$\frac{^{2}}{c+a}$+$\frac{{c}^{2}}{a+b}$$≥\frac{1}{2}$（a+b+c）當且僅當a=b=c時取等號．

Answer 1

分析 利用柯西不等式的變形$\frac{{{a}_{1}}^{2}}{_{1}}$+$\frac{{{a}_{2}}^{2}}{_{2}}$+…+$\frac{{{a}_{n}}^{2}}{_{n}}$≥$\frac{（{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}）^{2}}{_{1}+_{2}+…+_{n}}$化簡即得結(jié)論．

解答 證明：柯西不等式的變形$\frac{{{a}_{1}}^{2}}{_{1}}$+$\frac{{{a}_{2}}^{2}}{_{2}}$+…+$\frac{{{a}_{n}}^{2}}{_{n}}$≥$\frac{（{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}）^{2}}{_{1}+_{2}+…+_{n}}$得：
$\frac{{a}^{2}}{b+c}$+$\frac{^{2}}{c+a}$+$\frac{{c}^{2}}{a+b}$≥$\frac{（a+b+c）^{2}}{（b+c）+（c+a）+（a+b）}$=$\frac{1}{2}$（a+b+c）．

點評 本題考查不等式的證明，利用柯西不等式的變形是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．