Question

5．定義：將圓心不同的兩圓方程C₁：（x-a₁）²+（y-b₁）²=r₁²與C₂：（x-a₂）²+（y-b₂）²=r₂²兩邊分別相減所得的直線m稱為兩圓的根軸．
（1）求證：“根軸”所在直線m與兩圓圓心的連線垂直；
（2）求證：“根軸”所在直線m上在圓外部分的點到兩圓的切線長相等；
（3）利用上述方法判斷，對于圓C：x²+y²-2x+4y-4=0來說，是否存在斜率為1的直線l，使以l被圓C截得的弦AB為直徑的圓，經(jīng)過原點？若存在，寫出直線l的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）由條件利用“根軸”的定義，根據(jù)圓心和公共弦的中點的連線垂直且平分弦，可得“根軸”所在直線m與兩圓圓心的連線垂直．
（2）證明：設(shè)點M是：“根軸”所在直線m上在圓外部分的點，如圖所示：MP、MQ分別為兩圓的切線長，則由切割線定理可得MP=MQ．
（3）假設(shè)存在直線l：y=x+b，把它代入圓的方程可得2x²+（2b+2）b²+4b-4=0 ①，設(shè)A（x₁，y₁）、B（ x₂，y₂），利用韋達定理、以及OA⊥OB，可得 x₁•x₂+y₁•y₂=0，求得b=1，或b=-4．再把b=1，或b=-4代入①檢驗，判別式均大于零，可得滿足條件的直線有兩條．

解答 解：（1）證明：由題意可得“根軸”即兩圓的公共弦所在的直線，再根據(jù)兩圓相交的性質(zhì)可得，
圓心和公共弦的中點的連線垂直且平分弦，
故“根軸”所在直線m與兩圓圓心的連線垂直．
（2）證明：設(shè)點M是：“根軸”所在直線m上在圓外部分的點，如圖所示：MP、MQ分別為兩圓的切線長，
則由切割線定理可得MA•MB=MP²，MA•MB=MQ²，∴MP=MQ，
即“根軸”所在直線m上在圓外部分的點到兩圓的切線長相等．
（3）假設(shè)存在直線l：y=x+b，則由$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}{+y}^{2}-2x+4y-4=0}\\{y=x+b}\end{array}\right.$，可得2x²+（2b+2）b²+4b-4=0 ①，
設(shè)A（x₁，y₁）、B（ x₂，y₂），則x₁+x₂=-b-1，x₁•x₂=$\frac{^{2}+2b-4}{2}$，
∴y₁•y₂=（x₁+b）（x₂+b）=x₁•x₂+b（x₁+x₂）+b²=$\frac{^{2}+4b-4}{2}$+b（-b-1）+b²=$\frac{^{2}+2b-4}{2}$．
又OA⊥OB，∴x₁•x₂+y₁•y₂=0，即 $\frac{^{2}+4b-4}{2}$+$\frac{^{2}+2b-4}{2}$=0，求得b=1，或b=-4．
再把b=1，或b=-4代入①檢驗，判別式均大于零，故滿足條件的直線有兩條，即 x-y+1=0 x-y-4=0．

點評 本題主要考查新定義，圓的切割線定理，直線和圓相交的性質(zhì)，屬于中檔題．