Question

3．如圖，已知正三角形ABC的邊長(zhǎng)為6，將△ABC沿BC邊上的高線AO折起，使BC=3$\sqrt{2}$，得到三棱錐A-BOC．動(dòng)點(diǎn)D在邊AB上．
（1）求證：OC⊥平面AOB；
（2）當(dāng)點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)時(shí)，求異面直線AO、CD所成角的正切值；
（3）求當(dāng)直線CD與平面AOB所成角最大時(shí)的正切值．

Answer 1

分析 （1）對(duì)比折疊前后便可得出，AO⊥平面BOC，從而OC⊥AO，并且可說(shuō)明△BOC為直角三角形，OC⊥OD，從而得到OC⊥平面AOB；
（2）根據(jù)上面可分別以O(shè)C，OB，OA三直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，從而求出向量$\overrightarrow{AO}$，$\overrightarrow{CD}$的坐標(biāo)．設(shè)異面直線AO、CD所成角為θ，由cos$θ=|cos＜\overrightarrow{AO}，\overrightarrow{CD}＞|$即可求出cosθ，再求出sinθ，從而求出tanθ；
（3）根據(jù)條件并結(jié)合圖形可設(shè)D（$0，3-\frac{\sqrt{3}}{3}z，z$），并且說(shuō)明$\overrightarrow{OC}$是平面AOB的法向量，設(shè)直線CD與平面AOB所成角為α，從而根據(jù)sin$α=|cos＜\overrightarrow{CD}，\overrightarrow{OC}＞|$即可求得α最大時(shí)sinα值，從而求出cosα，tanα．

解答 解：（1）證明：根據(jù)條件，AO⊥OB，AO⊥OC，OB∩OC=O；
∴AO⊥底面BCO，OC?平面BCO；
∴AO⊥OC，即OC⊥AO；
又OB=OC=3，BC=3$\sqrt{2}$；
∴OB²+OC²=BC²；
∴OC⊥OB，AO∩OB=O；
∴OC⊥平面AOB；
∴OC，OB，OA三直線兩兩垂直，分別以這三直線為x，y，z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則：
O（0，0，0），A（0，0，3$\sqrt{3}$），B（0，3，0），C（3，0，0）；
D為AB中點(diǎn)，∴D（0，$\frac{3}{2}，\frac{3\sqrt{3}}{2}$）；
∴$\overrightarrow{AO}=（0，0，-3\sqrt{3}）$，$\overrightarrow{CD}=（-3，\frac{3}{2}，\frac{3\sqrt{3}}{2}）$；
設(shè)異面直線AO，CD所成角為θ，則cosθ=|cos$＜\overrightarrow{AO}，\overrightarrow{CD}＞$|=$\frac{\frac{27}{2}}{3\sqrt{3}•3\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}}{4}$；
∴$sinθ=\frac{\sqrt{10}}{4}$，tan$θ=\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{15}}{3}$；
即異面直線AO、CD所成角的正切值為$\frac{\sqrt{15}}{3}$；
（3）由（1）知，$\overrightarrow{OC}=（3，0，0）$為平面AOB的法向量，設(shè)直線CD與平面AOB所成角為α，D（0，$3-\frac{\sqrt{3}}{3}z，z$），（$0≤z≤3\sqrt{3}$），則：
sin$α=|cos＜\overrightarrow{OC}，\overrightarrow{CD}＞|$=$\frac{9}{3•\sqrt{9+（3-\frac{\sqrt{3}}{3}z）^{2}+{z}^{2}}}$=$\frac{3}{\sqrt{\frac{4}{3}（z-\frac{3\sqrt{3}}{4}）^{2}+\frac{63}{4}}}$；
∴$z=\frac{3\sqrt{3}}{4}$時(shí)，sinα取最大值$\frac{2\sqrt{7}}{7}$，此時(shí)α最大；
∴此時(shí)cosα=$\frac{\sqrt{21}}{7}$，tanα=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$；
∴當(dāng)直線CD與平面AOB所成角最大時(shí)的正切值為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 考查對(duì)折疊前后圖形的認(rèn)識(shí)，線面垂直的判定，線面垂直的性質(zhì)，以及通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求線線角及線面角的方法，平面法向量的概念，直線和平面所成角與直線的方向向量和平面法向量夾角的關(guān)系，以及清楚異面直線所成角和線面角的范圍．