Question

4．已知函數(shù)f（x）=ax²-（a+2）x+lnx，其中a＞0，
（1）若x=1是f（x）的極值點，求a；
（2）若f（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值為-2，求a的取值范圍；
（3）設(shè)g（x）=-$\int_0^x$[f（t）-lnt+at]dt，若對于任意的x₁∈（2，+∞），都存在x₂∈（1，+∞），使得g（x₁）•g（x₂）=1，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用導(dǎo)數(shù)的運算法則可得：由題意得，f′（1）=0，解得a，即可得出．
（2）函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），當a＞0 時，f′（x）=$\frac{（2x-1）（ax-1）}{x}$，令f′（x）=0，解得x=$\frac{1}{2}$ 或x=$\frac{1}{a}$，對a與1，e的大小關(guān)系分類討論，利用單調(diào)性即可得出．
（3）$g（x）=-\int_0^x{（a{t^2}}-2t）dt=-\frac{a}{3}{x^3}+{x^2}$，由題意知，y=g（x）（x＞2）的值域是$y=\frac{1}{g（x）}（x＞1）$的值域的子集．
設(shè)集合A={g（x）|x∈（2，+∞）}，集合B=$\{\frac{1}{g（x）}|x∈（1，+∞），g（x）≠0\}$，則 A⊆B，g′（x）=-ax²+2x，令g′（x）=0，則x=0或$x=\frac{2}{a}$，可得g（x）的單調(diào)性，又$g（0）=g（\frac{3}{a}）=0$，當x∈$（0，\frac{3}{a}）$時，g（x）＞0；當x∈$（\frac{3}{a}，+∞）$時，g（x）＜0．下面分三種情況討論：①當$\frac{3}{a}$＞2，即$0＜a＜\frac{3}{2}$時；②當$1≤\frac{3}{a}≤2$，即$\frac{3}{2}≤a≤3$時；③當$\frac{3}{a}＜1$，即a＞3時，即可得出．

解答 解：（1）f′（x）=2ax-（a+2）+$\frac{1}{x}$=$\frac{（2x-1）（ax-1）}{x}$，
由題意得，f′（1）=0，解得a=1，經(jīng)檢驗符合題意．
（2）函數(shù)f（x）=ax²-（a+2）x+lnx的定義域為（0，+∞），
當a＞0 時，f′（x）=$\frac{（2x-1）（ax-1）}{x}$，
令f′（x）=0，解得x=$\frac{1}{2}$ 或x=$\frac{1}{a}$，
①當0＜a≤1，即a≥1時，f（x）在[1，e]上遞增，
∴f（x）在[1，e]上的最小值為f（1）=-2，符合題意；
②當$1＜\frac{1}{a}＜e$，即$\frac{1}{e}＜a＜1$ 時，f（x） 在$[1，\frac{1}{a}]$ 上遞減，在$[\frac{1}{a}，e]$上遞增，
∴f（x）在[1，e]上的最小值為$f（\frac{1}{a}）$＜f（1）=-2，不合題意；
③當$\frac{1}{a}≥e$，即$0＜a≤\frac{1}{e}$時，f（x） 在[1，e]上遞減，
∴f（x） 在[1，e]上的最小值為f（e）＜f（1）=-2，不合題意，
綜上，a的取值范圍是[1，+∞）．
（3）$g（x）=-\int_0^x{（a{t^2}}-2t）dt=-\frac{a}{3}{x^3}+{x^2}$
由題意知，y=g（x）（x＞2）的值域是$y=\frac{1}{g（x）}（x＞1）$的值域的子集．
設(shè)集合A={g（x）|x∈（2，+∞）}，集合B=$\{\frac{1}{g（x）}|x∈（1，+∞），g（x）≠0\}$，則 A⊆B，g′（x）=-ax²+2x，令g′（x）=0，則x=0或$x=\frac{2}{a}$
當x變化時，g′（x），g（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，0）	0	$（0，\frac{2}{a}）$	$\frac{2}{a}$	$（\frac{2}{a}，+∞）$
g′（x）	-	0	+	0	-
g（x）	↘	0	↗	$\frac{1}{3{a}^{2}}$	↘

又$g（0）=g（\frac{3}{a}）=0$
∴當x∈$（0，\frac{3}{a}）$時，g（x）＞0；當x∈$（\frac{3}{a}，+∞）$時，g（x）＜0．
下面分三種情況討論：
①當$\frac{3}{a}$＞2，即$0＜a＜\frac{3}{2}$時，由$g（\frac{3}{a}）=0$可知，0∈A，而0∉B，∴A不是B的子集．
②當$1≤\frac{3}{a}≤2$，即$\frac{3}{2}≤a≤3$時，有g(shù)（2）≤0，g（x）在（2，+∞）上單調(diào)遞減，
故A=（-∞，g（2））⊆（-∞，0）；又g（1）≥0，∴（-∞，0）⊆B，故A⊆B，符合題意；
③當$\frac{3}{a}＜1$，即a＞3時，有g(shù)（1）＜0，且g（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，故B=$（\frac{1}{g（1）}，0）$，
A=（-∞，g（2）），∴A不是B的子集．
綜上，a的取值范圍是$[\frac{3}{2}，3]$．

點評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、不等式的解法、方程的解法、等價轉(zhuǎn)化方法、集合之間的關(guān)系，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于難題．