Question

15．已知函數(shù)$f（x）=a+\frac{1}{{{2^x}+1}}$．
（1）當(dāng)函數(shù)f（x）為奇函數(shù)時(shí)，求a的值；
（2）判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，+∞）上是增函數(shù)還是減函數(shù)，并用定義證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的定義域，利用函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，f（0）=0，即可求a的值；
（2判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，+∞）上是減函數(shù)，然后用定義證明即可．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，
由于定義域?yàn)镽的奇函數(shù)有f（0）=0，…（4分）
故$f（0）=a+\frac{1}{{{2^0}+1}}=0$，解得$a=-\frac{1}{2}$．…（7分）
（2）函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，+∞）上是減函數(shù)．              …（8分）
證明：任取x₁＜x₂，有${2^{x_2}}-{2^{x_1}}＞0$，
則$f（{x_1}）-f（{x_2}）=（a+\frac{1}{{{2^{x_1}}+1}}）-（a+\frac{1}{{{2^{x_2}}+1}}）$=$\frac{1}{{{2^{x_1}}+1}}-\frac{1}{{{2^{x_2}}+1}}=\frac{{{2^{x_2}}-{2^{x_1}}}}{{（{2^{x_1}}+1）（{2^{x_2}}+1）}}＞0$，…（13分）
即f（x₁）＜f（x₂），所以函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，+∞）上是減函數(shù)．  …（15分）
（注：在本小題中若取$a=-\frac{1}{2}$證明，其它無(wú)誤，則扣2分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用以及函數(shù)的單調(diào)性的證明，考查計(jì)算能力．