Question

14．已知sinθ、cosθ是$2{x^2}-（{\sqrt{3}+1}）x+m=0$的兩根，且$θ∈（{0\;，\frac{π}{2}}）$
（1）求m；
（2）求θ．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意利用韋達(dá)定理列出關(guān)系式，結(jié)合完全平方公式及同角三角函數(shù)間基本關(guān)系化簡(jiǎn)，即可求出m的值；
（2）把m的值代入計(jì)算求出sinθ與cosθ的值，即可確定出θ的度數(shù)．

解答 解：（1）∵sinθ、cosθ為方程2x²-（$\sqrt{3}$+1）x+m=0的兩根，
∴sinθ+cosθ=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，sinθcosθ=$\frac{m}{2}$，
∵（sinθ+cosθ）²=1+2sinθcosθ，
∴$\frac{4+2\sqrt{3}}{4}$=1+m，
解得：m=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
（2）∴sinθ+cosθ=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，sinθcosθ=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，且θ∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴sinθ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，cosθ=$\frac{1}{2}$或sinθ=$\frac{1}{2}$，cosθ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
則θ=$\frac{π}{3}$或$\frac{π}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用，熟練掌握基本關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．