Question

7．已知函數(shù)f（x）=ax²+2bx，g（x）=b+lnx（a∈[-1，2]，b∈R，b≠0）．
（Ⅰ）求命題A：“?x∈R，對(duì)于?m∈R⁺，f（x）=m”為真命題的概率；
（Ⅱ）若a∈Z，b∈{-2，-1，1，2}，寫出所有的數(shù)對(duì)（a，b）．設(shè)函數(shù)φ（x）=$\left\{\begin{array}{l}f（x），x≤1\\ g（x），x＞1\end{array}$記“?x₁，x₂∈（-∞，+∞），x₁≠x₂，$\frac{{φ（{x_1}）-φ（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}$＞0”為事件B，求事件B發(fā)生的概率P（B）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當(dāng)a＜0時(shí)，命題A為假命題，若命題A為真命題，必有a≥0，利用幾何概型求得概率．
（Ⅱ）先得出所有可能的數(shù)對(duì)，再根據(jù)函數(shù)得單調(diào)性得到所以要使事件B發(fā)生，只需f（1）≤g（1）繼而得出結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)a＜0時(shí)，命題A為假命題，若命題A為真命題，必有a≥0，
∵-1＜a＜3，由幾何概型知識(shí)可得命題A為真命題的概率為P（A）=$\frac{2}{3}$
（Ⅱ）所有可能的數(shù)對(duì)（a，b）為（-1，-2）（-1，-1），（-1，1），（-1，2），（0，-2）（0，-1），
（0，1），（0，2），（1，-2），（1，-1），（1，1），（1，2），（2，-2），（2，-1），（2，1），（2，2），共有16個(gè)．
因?yàn)閤＞1時(shí)，φ（x）=g（x）=b+lnx在區(qū)間（1，+∞）上是增函數(shù)，
所以?x₁，x₂∈[1，+∞），x₁≠x₂，$\frac{φ（{x}_{1}）-φ（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}＞0$成立，所以要使事件B發(fā)生，只需f（1）≤g（1）
即a+b≤0，滿足條件的數(shù)對(duì)（a，b）為（-1，-2）（-1，-1），（-1，1），），（0，-2）（0，-1），（1，-2），（1，-1），（2，-2），共8個(gè)．
所以由古典概型知識(shí)可得P（B）=$\frac{8}{16}=\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查古典概型和幾何概型，屬簡單題型，高考時(shí)有考查．