Question

12．已知橢圓N：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，直線y=x+1被橢圓N截得的線段長(zhǎng)為$\frac{8\sqrt{2}}{5}$，求橢圓N的方程．

Answer 1

分析 由于橢圓的離心率為e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，可得$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，由于a²=b²+c²．可得a²=4b²．橢圓的方程化為x²+4y²=4b²．與直線的方程聯(lián)立，利用弦長(zhǎng)公式即可得出．

解答 解：∵橢圓的離心率為e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵a²=b²+c²，
∴a²=4b²．
∴橢圓的方程化為x²+4y²=4b²．
設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
聯(lián)立直線y=x+1與橢圓方程，化為5x²+8x+4-4b²=0，
∴x₁+x₂=-$\frac{8}{5}$，x₁x₂=$\frac{4-4^{2}}{5}$．
∴|AB|=$\sqrt{2}$•$\sqrt{\frac{64}{25}-4•\frac{4-4^{2}}{5}}$=$\frac{8\sqrt{2}}{5}$，
化為b²=1．滿足△＞0．
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、弦長(zhǎng)公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．