Question

11．已知△ABC的三邊長分別為AB=5，BC=4，AC=3，M 是AB邊上的點，P是平面ABC外一點．給出下列四個命題：
①若PA丄平面ABC，則三棱錐P-ABC的四個面都是直角三角形；
②若PM丄平面ABC，且M是AB邊中點，則有PA=PB=PC；
③若PC=5，PC丄平面ABC，則△PCM面積的最小值為$\frac{15}{2}$；
④若PC=5，P在平面ABC上的射影是△ABC內切圓的圓心，則點P到平面ABC的距離為$\sqrt{23}$．
其中正確命題的序號是①②④． （把你認為正確命題的序號都填上）

Answer 1

分析 由PA⊥平面ABC，得PA⊥AC，PA⊥AB，PA⊥BC，從而得到四個面都是直角三角形；連接CM，當PM⊥平面ABC時，得到BM=AM=CM，從而得到PA=PB=PC；當PC⊥平面ABC時，CM⊥AB時，CM取得最小值，由此求出S_△PCM的最小值是6；設△ABC內切圓的圓心是O，則PO⊥平面ABC，連接OC，則有PO²+OC²=PC²，從而能求出PO=$\sqrt{23}$．

解答 解：對于①，如圖，因為PA⊥平面ABC，所以PA⊥AC，PA⊥AB，PA⊥BC，
又BC⊥AC，所以BC⊥平面PAC，所以BC⊥PC，
故四個面都是直角三角形，故①正確；
對于②，連接CM，當PM⊥平面ABC時，PA²=PM²+MA²，
PB²=PM²+BM²，PC²=PM²+CM²，
因為M是Rt△ABC斜邊AB的中點，所以BM=AM=CM，
故PA=PB=PC，故②正確；
對于③，當PC⊥平面ABC時，
S_△PCM=$\frac{1}{2}$PC•CM=$\frac{1}{2}$×5×CM．
CM⊥AB時，CM取得最小值，長度為$\frac{12}{5}$，
所以S_△PCM的最小值是$\frac{1}{2}$×5×$\frac{12}{5}$=6，故③錯誤；
對于④，設△ABC內切圓的圓心是O，則PO⊥平面ABC，連接OC，則有PO²+OC²=PC²，
又內切圓半徑r=$\frac{1}{2}$（3+4-5）=1，所以OC=$\sqrt{2}$，
PO²=PC²-OC²=25-2=23，故PO=$\sqrt{23}$，故④正確．
綜上，正確的命題有①②④．
故答案為：①②④．

點評 本題考查命題真假的判斷，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．