Question

19．已知函數(shù)f（x）=$\frac{bx+c}{x+1}$的圖象過原點(diǎn)，且關(guān)于點(diǎn)（-1，2）成中心對(duì)稱．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，a_n+1=f（a_n），試證明數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}-1}$}成等比數(shù)列，并求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析 （1）通過將點(diǎn)（0，0）、（-2，4）代入函數(shù)f（x）=$\frac{bx+c}{x+1}$，計(jì)算即得結(jié)論；
（2）通過（1）代入計(jì)算可知a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{{a}_{n}+1}$，變形可知$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-1=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{{a}_{n}}$-1），進(jìn)而計(jì)算即得結(jié)論．

解答 （1）解：∵函數(shù)f（x）=$\frac{bx+c}{x+1}$的圖象過原點(diǎn)，
∴f（0）=0，即c=0，
∴f（x）=$\frac{bx}{x+1}$，
又∵函數(shù)f（x）=$\frac{bx}{x+1}$關(guān)于點(diǎn)（-1，2）成中心對(duì)稱，
∴f（-2）=4，即$\frac{-2b}{-2+1}$=4，∴b=2，
∴函數(shù)f（x）的解析式f（x）=$\frac{2x}{x+1}$；
（2）證明：由（1）可知：a_n+1=f（a_n）=$\frac{2{a}_{n}}{{a}_{n}+1}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{{a}_{n}}$，
整理得：$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-1=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{{a}_{n}}$-1），
又∵$\frac{1}{{a}_{1}}$-1=$\frac{1}{2}$-1=-$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$=$\frac{{2}^{n}-1}{{2}^{n}}$，a_n=$\frac{{2}^{n}}{{2}^{n}-1}$，
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}-1}$=$\frac{\frac{{2}^{n}}{{2}^{n}-1}}{\frac{{2}^{n}}{{2}^{n}-1}-1}$=2ⁿ，
∴數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$}是首項(xiàng)、公比均為2的等比數(shù)列．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)，注意解題方法的積累，屬于中檔題．