Question

14．某種電路開關閉合后會出現(xiàn)紅燈或綠燈閃動，已知開關第一次閉合后，出現(xiàn)紅燈和綠燈的概率都是$\frac{1}{2}$．從開關第二次閉合起，若前次出現(xiàn)紅燈，則下一次出現(xiàn)紅燈的概率是$\frac{1}{3}$，出現(xiàn)綠燈的概率是$\frac{2}{3}$；若前次出現(xiàn)綠燈，則下一次出現(xiàn)紅燈的概率是$\frac{3}{5}$，出現(xiàn)綠燈的概率是$\frac{2}{5}$．問：
（Ⅰ）第二次閉合后出現(xiàn)紅燈的概率是多少？
（Ⅱ）開關閉合10次時，出現(xiàn)綠燈的概率是多少？

Answer 1

分析 （Ⅰ）如果第一次出現(xiàn)紅燈，則接著又出現(xiàn)紅燈的概率是 $\frac{1}{2}×\frac{1}{3}$，如果第一次出現(xiàn)綠燈，則接著出現(xiàn)紅燈的概率為 $\frac{1}{2}×\frac{3}{5}$，再根據加法原理求得第二次閉合時出現(xiàn)紅燈的概率．
（Ⅱ）設第n次閉合時，出現(xiàn)紅燈的概率是p_n，則p_n=$\frac{1}{3}$p_n-1+$\frac{3}{5}$（1-p_n-1）=-$\frac{4}{15}$p_n-1+$\frac{3}{5}$，設p_n+k=-$\frac{4}{15}$（p_n-1+k），求得 k=-$\frac{9}{19}$，再根據等比數(shù)列的通項公式求出p_n=$\frac{9}{19}$+$\frac{1}{38}$•${（-\frac{4}{15}）}^{n-1}$，從而求得第n次閉合時，出現(xiàn)綠燈的概率是1-p_n的解析式，金額求得開關閉合10次時，出現(xiàn)綠燈的概率．

解答 解：（Ⅰ）如果第一次出現(xiàn)紅燈，則接著又出現(xiàn)紅燈的概率是 $\frac{1}{2}×\frac{1}{3}$，
如果第一次出現(xiàn)綠燈，則接著出現(xiàn)紅燈的概率為 $\frac{1}{2}×\frac{3}{5}$．
∴第二次出現(xiàn)紅燈的概率為 $\frac{1}{2}×\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{5}$=$\frac{7}{15}$，
（Ⅱ）設第n次閉合時，出現(xiàn)紅燈的概率是p_n，則p_n=$\frac{1}{3}$p_n-1+$\frac{3}{5}$（1-p_n-1）=-$\frac{4}{15}$p_n-1+$\frac{3}{5}$，
設p_n+k=-$\frac{4}{15}$（p_n-1+k），即p_n=-$\frac{4}{15}$•p_n-1-$\frac{19k}{15}$，∴-$\frac{19k}{15}$=$\frac{3}{5}$，求得 k=-$\frac{9}{19}$，
故數(shù)列{p_n-$\frac{9}{19}$}為等比數(shù)列，且公比為-$\frac{4}{15}$．
再根據首項為p₁-$\frac{9}{19}$=$\frac{1}{38}$，∴p_n-$\frac{9}{19}$=$\frac{1}{38}$•${（-\frac{4}{15}）}^{n-1}$，∴p_n=$\frac{9}{19}$+$\frac{1}{38}$•${（-\frac{4}{15}）}^{n-1}$，
故第n次閉合時，出現(xiàn)綠燈的概率是1-p_n=$\frac{10}{19}$-$\frac{1}{38}$•${（-\frac{4}{15}）}^{n-1}$，
故開關閉合10次時，出現(xiàn)綠燈的概率是$\frac{10}{19}$+$\frac{1}{38}$•${（\frac{4}{15}）}^{9}$．

點評 本題考查了相互獨立事件的概率乘法公式，解答的關鍵是能夠正確分清各種情況，分類時做到不重不漏．