Question

12．△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A（1，0），B（1，4），C（3，2），直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)D（0，4）．
（1）判斷△ABC的形狀；
（2）求△ABC外接圓M的方程；
（3）若直線l與圓M相交于P，Q兩點(diǎn)，且PQ=2$\sqrt{3}$，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)分別求得AC，BC的斜率判斷出兩直線垂直，進(jìn)而判斷出三角形為直角三角形．
（2）先確定圓心，進(jìn)而利用兩點(diǎn)間的距離公式求得半徑，則圓的方程可得．
（3）先看直線斜率不存在時(shí)判斷是否符合，進(jìn)而看斜率存在時(shí)設(shè)出直線的方程，利用圓心到直線的距離求得k，則直線的方程可得．

解答 解：（1）因?yàn)锳（1，0），B（1，4），C（3，2），所以k_AC=1，k_BC=-1，
所以CA⊥CB，又CA=CB=2$\sqrt{2}$，所以△ABC是等腰直角三角形，
（2）由（1）可知，⊙M的圓心是AB的中點(diǎn)，所以M（1，2），半徑為2，
所以⊙M的方程為（x-1）²+（y-2）²=4．
（3）因?yàn)閳A的半徑為2，當(dāng)直線截圓的弦長(zhǎng)為2$\sqrt{3}$時(shí)，
圓心到直線的距離為$\sqrt{4-3}$=1．
①當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，l方程為x=0，它與圓心M（1，2）的距離為1，滿足條件；
②當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)l：y=kx+4，因?yàn)閳A心到直線y=kx+4的距離為$\frac{|k+2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，解得k=-$\frac{3}{4}$，此時(shí)直線l的方程為3x+4y-16=0．
綜上可知，直線l的方程為x=0或3x+4y-16=0．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了直線與圓的綜合問(wèn)題的應(yīng)用．利用圓心到直線的距離解決問(wèn)題是常用的方法．