Question

2．若函數(shù)t（x）在定義域內(nèi)滿足t（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）≤$\frac{t（{x}_{1}）+t（{x}_{2}）}{2}$此時我們稱函數(shù)t（x）在定義域內(nèi)具有性質(zhì)M．
（1）已知函數(shù)f（x）=x²+ax+b，求證：函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)具有性質(zhì)M；
（2）若函數(shù)g（x）=3^x，判斷函數(shù)g（x）在定義域內(nèi)是否具有性質(zhì)M，并說明理由；
（3）設函數(shù)h（x）=log_a[（2a-1）x+1]，在定義域內(nèi)具有性質(zhì)M，指出a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）直接利用性質(zhì)化簡求解，驗證即可．
（2）根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，結合指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，基本不等式，可得結論．
（3）通過復合函數(shù)的單調(diào)性，結合已知條件，說明a的范圍即可．

解答 證明：（1）函數(shù)f（x）=x²+ax+b，任取兩個實數(shù)x₁，x₂（x₁≠x₂），
f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）=（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）²+a$•\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$+b=$\frac{{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}+2{{x}_{1}{x}_{2}}^{\;}}{4}+\frac{{a（x}_{1}+{x}_{2}）}{2}+b$．
$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$=$\frac{1}{2}$（x₁²+ax₁+b+x₂²+ax₂+b）=$\frac{{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}+a（{{x}_{1}}^{\;}+{{x}_{2}}^{\;}）}{2}+b$．
∵$\frac{{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}+2{{x}_{1}{x}_{2}}^{\;}}{4}≤\frac{{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}}{2}$，
∴f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）≤$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$恒成立
（2）解：若f（x）=3^x
則任取兩個實數(shù)x₁，x₂（x₁≠x₂），
f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）=${3}^{\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}}$=$\sqrt{{3}^{{x}_{1}+{x}_{2}}}$=$\sqrt{{3}^{{x}_{1}}•{3}^{{x}_{2}}}$，
$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$=$\frac{{3}^{{x}_{1}}+{3}^{{x}_{2}}}{2}$，
由函數(shù)f（x）的值域為（0，+∞），可得：${3}^{{x}_{1}}＞0，{3}^{{x}_{2}}＞0$，
由基本不等式可得$\sqrt{{3}^{{x}_{1}}•{3}^{{x}_{2}}}＜\frac{{3}^{{x}_{1}}+{3}^{{x}_{2}}}{2}$，即f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）≤$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$恒成立，
函數(shù)g（x）在定義域內(nèi)是否具有性質(zhì)M；
（3）函數(shù)t（x）在定義域內(nèi)滿足t（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）≤$\frac{t（{x}_{1}）+t（{x}_{2}）}{2}$，稱函數(shù)t（x）在定義域內(nèi)具有性質(zhì)M，
函數(shù)h（x）=log_a[（2a-1）x+1]，在定義域內(nèi)具有性質(zhì)M，
可知：$\left\{\begin{array}{l}0＜a＜1\\ 2a-1＞0\end{array}\right.$，所以$\frac{1}{2}＜a＜1$．
a的取值范圍：（$\frac{1}{2}，1$）．

點評 本題考查的知識點是指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，實際考查函數(shù)的凸凹性，屬于中檔題．