Question

14．已知函數(shù)f（x）=log_ax（a＞0，a≠1）．
（1）當(dāng)a=2時，求關(guān)于實(shí)數(shù)m的不等式f（3m-2）＜f（2m+5）的解集．
（2）求使$f（x-\frac{2}{x}）={log_a}\frac{7}{2}$成立的x值．

Answer 1

分析 （1）由a=2得函數(shù)f（x）在定義域（0，+∞）上單調(diào)遞增，把不等式f（3m-2）＜f（2m+5）化為$\left\{\begin{array}{l}{3m-2＞0}\\{2m+5＞0}\\{3m-2＜2m+5}\end{array}\right.$，求出解集即可；
（2）由$f（x-\frac{2}{x}）={log_a}\frac{7}{2}$得出方程x-$\frac{2}{x}$=$\frac{7}{2}$，求出方程的解并檢驗(yàn)是否滿足條件．

解答 解：（1）由a=2得，函數(shù)f（x）=log₂x在定義域（0，+∞）上單調(diào)遞增，
所以不等式f（3m-2）＜f（2m+5）可化為：
$\left\{\begin{array}{l}{3m-2＞0}\\{2m+5＞0}\\{3m-2＜2m+5}\end{array}\right.$，
解得$\frac{2}{3}$＜m＜7；
（2）由$f（x-\frac{2}{x}）={log_a}\frac{7}{2}$，
得log_a（x-$\frac{2}{x}$）=log_a$\frac{7}{2}$，
即x-$\frac{2}{x}$=$\frac{7}{2}$，
化簡得2x²-7x-4=0，
解得x=-$\frac{1}{2}$或x=4；
檢驗(yàn)得x=-$\frac{1}{2}$，x=4都滿足題意，
故x=-$\frac{1}{2}$或x=4；．

點(diǎn)評 本題考查了對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了不等式的解法與應(yīng)用問題．