Question

2．橢圓的兩個焦點和短軸的兩個端點，恰好是含60°角的菱形的四個頂點，則橢圓的離心率為（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• C． $\frac{1}{2}$或$\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． $\frac{1}{2}$或$\frac{\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 由題意可得tan30°=$\frac{c}$，或tan60°=$\frac{c}$，再由a，b，c的關系和離心率公式，計算即可得到所求值．

解答 解：由于橢圓的兩個焦點和短軸兩個頂點，
是一個含60°角的菱形的四個頂點，
則tan30°=$\frac{c}$，或tan60°=$\frac{c}$，
當$\frac{c}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$時，即b=$\sqrt{3}$c，即有a=$\sqrt{^{2}+{c}^{2}}$=2c，
由e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$；
當$\frac{c}$=$\sqrt{3}$時，即b=$\frac{\sqrt{3}}{3}$c，即有a=$\sqrt{^{2}+{c}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$c，
由e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
可得離心率為$\frac{1}{2}$或$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故選：C．

點評 本題考查橢圓的標準方程，以及簡單性質的應用，運用分類討論的思想方法是解題的關鍵．