Question

20．直線$l：y=k（x-\frac{5}{2}）+\frac{3}{2}$被圓x²+y²-5x=0所截得的n條弦的長度成等差數(shù)列，最小弦長為數(shù)列的首項a₁，最大弦長為a_n，若公差$d∈[{\frac{1}{7}，\frac{1}{5}}]$，則n的最大取值為（　�。�

• A． 6
• B． 7
• C． 8
• D． 9

Answer 1

分析 先求出圓的圓心和半徑，根據(jù)圓的幾何性質(zhì)計算出過點P（$\frac{5}{2}$，$\frac{3}{2}$）的最短弦長和最長弦長，即等差數(shù)列的第一項和第n項，再根據(jù)等差數(shù)列的公差$d∈[{\frac{1}{7}，\frac{1}{5}}]$，求出n的取值集合，即可得出結(jié)論．．

解答 解：圓x²+y²-5x=0的圓心為C（$\frac{5}{2}$，0），半徑為r=$\frac{5}{2}$．
過點P（$\frac{5}{2}$，$\frac{3}{2}$）最短弦的弦長為a₁=2$\sqrt{{r}^{2}-|PC{|}^{2}}$=4
過點P （$\frac{5}{2}$，$\frac{3}{2}$）最長弦長為圓的直徑長a_n=5，
∴4+（n-1）d=5，
∴d=$\frac{1}{n-1}$，
∵$d∈[{\frac{1}{7}，\frac{1}{5}}]$，
∴$\frac{1}{7}$≤$\frac{1}{n-1}$≤$\frac{1}{5}$，
∴6≤n≤8，
∴n的最大取值為8．
故選：C．

點評 此題重點考查了圓中求解弦的最大與最小，還考查了等差數(shù)列的任意兩項間的通項公式及利用公差的范圍和n的取值范圍逼出n的數(shù)值．