Question

4．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，動點A的坐標(biāo)為（2-3sinα，3cosα-2），其中α∈R．在極坐標(biāo)系（以原點O為極點，以x軸非負(fù)半軸為極軸）中，直線C的方程為ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=a
（Ⅰ）寫出動點A的軌跡的參數(shù)方程并說明軌跡的形狀；
（Ⅱ）若直線C與動點A的軌跡有且僅有一個公共點，求實數(shù)a的值．

Answer 1

分析 （I）將A的坐標(biāo)寫成參數(shù)方程，化成普通方程判斷軌跡形狀；
（II）求出曲線C的直角坐標(biāo)方程，根據(jù)有一個交點得出兩曲線相切，列出方程解出a．

解答 解：（I）設(shè)動點A（x，y），則A的軌跡的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2-3sinα}\\{y=3cosα-2}\end{array}\right.$，（α為參數(shù)）．
化成普通方程為（x-2）²+（y+2）²=9．∴A的軌跡為以（2，-2）為圓心，以3為半徑的圓．
（II）∵ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=a，∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$ρcosθ+$\frac{\sqrt{2}}{2}ρsinθ$=a，
∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為$\sqrt{2}x+\sqrt{2}y-2a=0$．
∵直線C與動點A的軌跡有且僅有一個公共點，
∴$\frac{|2\sqrt{2}-2\sqrt{2}-2a|}{2}$=3，解得a=3或a=-3．

點評 本題考查了參數(shù)方程，極坐標(biāo)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化，直線與圓的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．