Question

8．在直三棱柱ABC-A′B′C′中，AB=AC=2，AA′=3，AB⊥AC，E為棱B′C′的中點(diǎn)，F(xiàn)為側(cè)棱CC′上一點(diǎn)，若CE⊥AF，則AF與平面ABB′A′所成的角的正切值為（　　）

• A． 3
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{2}{3}$
• D． $\frac{4}{3}$

Answer 1

分析 以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AC為y軸，AA′為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出AF與平面ABB′A′所成的角的正切值．

解答 解：以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AC為y軸，AA′為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
∵AB=AC=2，AA′=3，AB⊥AC，E為棱B′C′的中點(diǎn)，F(xiàn)為側(cè)棱CC′上一點(diǎn)，CE⊥AF，
∴B′（2，0，3），C′（0，2，3），E（1，1，3），C（0，2，0），
設(shè)F（0，2，t），0＜t＜3，則$\overrightarrow{CE}$=（1，-1，3），$\overrightarrow{AF}$=（0，2，t），
∵CE⊥AF，∴$\overrightarrow{CE}•\overrightarrow{AF}$=-2+3t=0，解得t=$\frac{2}{3}$．
∴$\overrightarrow{AF}$=（0，2，$\frac{2}{3}$），
∵平面ABB′A′的法向量$\overrightarrow{n}$=（0，1，0），
設(shè)AF與平面ABB′A′所成的角為θ，
則sinθ=$\frac{|\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{AF}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{\sqrt{4+\frac{4}{9}}•1}$=$\frac{3}{\sqrt{10}}$，
∴cos$θ=\sqrt{1-\frac{9}{10}}$=$\frac{1}{\sqrt{10}}$，tanθ=$\frac{sinθ}{cosθ}$=3．
∴AF與平面ABB′A′所成的角的正切值為3．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面角的正切值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．