Question

8．設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{x+b}{ax-1}$（x∈R，且，a≠0．x≠$\frac{1}{a}$）．
（1）若a=$\frac{1}{2}$，b=-$\frac{3}{2}$，指出f（x）與g（x）=$\frac{1}{x}$的圖象變換關(guān)系以及函數(shù)f（x）的圖象的對(duì)稱中心；
（2）證明：若ab+1≠0，則f（x）的圖象必關(guān)于直線y=x對(duì)稱．

Answer 1

分析 （1）將f（x）的解析式整理可得f（x）=2+$\frac{1}{x-2}$，由g（x）的圖象先向右平移2個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位得到．
再由g（x）的對(duì)稱中心，即可得到所求f（x）的對(duì)稱中心；
（2）若ab+1≠0，則f（x）不為常函數(shù)．設(shè)f（x）的圖象上任一點(diǎn)為（m，n），證明點(diǎn)（n，m）也在f（x）的圖象上，即可得證．

解答 解：（1）若a=$\frac{1}{2}$，b=-$\frac{3}{2}$，即有f（x）=$\frac{x-\frac{3}{2}}{\frac{1}{2}x-1}$
=$\frac{2x-3}{x-2}$=2+$\frac{1}{x-2}$，
則f（x）的圖象可由g（x）=$\frac{1}{x}$的圖象先向右平移2個(gè)單位，
再向上平移2個(gè)單位得到．
由g（x）的圖象的對(duì)稱中心為（0，0），則f（x）的圖象對(duì)稱中心為（2，2）；
（2）證明：若ab+1≠0，則f（x）不為常函數(shù)．
設(shè)f（x）的圖象上任一點(diǎn)為（m，n），
即有f（m）=n，即為$\frac{m+b}{am-1}$=n，
即有m+b=amn-n，
可得（an-1）m=n+b，
即有m=$\frac{an-1}{n+b}$，則f（n）=m，
即點(diǎn)（n，m）也在函數(shù)f（x）的圖象上，
而（m，n）和（n，m）關(guān)于直線y=x對(duì)稱．
故f（x）的圖象必關(guān)于直線y=x對(duì)稱．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的圖象變換和函數(shù)的對(duì)稱中心的求法，考查函數(shù)的對(duì)稱性的證明，注意運(yùn)用點(diǎn)的對(duì)稱，屬于中檔題．