Question

16．己知f（x）=x²-2x+2，在[$\frac{1}{4}$，m²-m+2]上任取三個(gè)數(shù)a，b，c，均存在以 f（a），f（b），f（c）為三邊的三角形，則m的取值范圍為（　�。�

• A． （0，1）
• B． [0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）
• C． （0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]
• D． [$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{2}$]

Answer 1

分析 先把二次函數(shù)解析式配方，然后根據(jù)自變量x的范圍x∈[$\frac{1}{4}$，m²-m+2]，求出f（x）的最大值和最小值，根據(jù)三角形的兩邊之和大于第三邊，由最小值的2倍大于最大值，列出關(guān)于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的范圍．

解答 解：f（x）=x²-2x+2的對(duì)稱(chēng)軸為x=1，
在[$\frac{1}{4}$，m²-m+2]上，由于m²-m+2＞1恒成立，
即有x=1處取得最小值1，
由于m²-m+2-1=m²-m+1=（m-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$≥$\frac{3}{4}$=1-$\frac{1}{4}$，
即有x=m²-m+2處取得最大值，且為（m²-m+1）²+1，
不妨設(shè)f（a）=f（b）=1，f（c）=（m²-m+1）²+1，
由以 f（a），f（b），f（c）為三邊的三角形，
由構(gòu)成三角形的條件可得2＞（m²-m+1）²+1，
解得0＜m＜1．
故選A．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，以及三角形三邊的關(guān)系，求出二次函數(shù)在閉區(qū)間的最大值和最小值，利用最值根據(jù)三角形的邊關(guān)系列出關(guān)于m的方程是解本題的關(guān)鍵．