Question

10．直線y=kx+m（k≠0）與橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1相交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)M（0，-1），若|MA|=|MB|，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），線段AB的中點(diǎn)N（x₀，y₀）．直線方程與橢圓方程聯(lián)立化為：（4k²+1）x²+8kmx+4m²-4=0，利用△＞0，化為4k²+1＞m²．由于|MA|=|MB|，可得k_MN•k_AB=-1，利用根與系數(shù)的關(guān)系、斜率計(jì)算公式可得：m（4m-1）（4m²-m-9）＜0，解出即可．

解答 解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），線段AB的中點(diǎn)N（x₀，y₀）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，
化為：（4k²+1）x²+8kmx+4m²-4=0，
△=64k²m²-4（4k²+1）（4m²-4）＞0，化為：4k²+1＞m²．
∴x₁+x₂=$\frac{-8km}{4{k}^{2}+1}$，x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}-4}{4{k}^{2}+1}$．
∴x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-$\frac{4km}{4{k}^{2}+1}$，y₀=kx₀+m=-$\frac{4{k}^{2}m}{4{k}^{2}+1}$+m=$\frac{m}{4{k}^{2}+1}$．
∵|MA|=|MB|，
∴k_MN•k_AB=-1，
∴$\frac{\frac{m}{4{k}^{2}+1}+1}{\frac{-4km}{4{k}^{2}+1}-0}$•k=-1，
化為：4k²=$\frac{5m+1}{4m-1}$．
∴4k²+1=$\frac{5m+1}{4m-1}$+1＞m²，
化為：m（4m-1）（4m²-m-9）＜0，由于4m²-m-9＞0恒成立，化為m（4m-1）＜0．
解得$0＜m＜\frac{1}{4}$．
∴m的取值范圍是$（0，\frac{1}{4}）$．

點(diǎn)評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、斜率計(jì)算公式、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．