Question

2．已知PA⊥面ABCD，PA=AB=3，面ABCD為正方形．試建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，分別求下列平面的法向量．
（1）面ABCD；
（2）面PAB；
（3）面PBC；
（4）面PCD．

Answer 1

分析 利用線面垂直的性質(zhì)、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系即可得出．

解答 解：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系．
則（1）面ABCD的法向量為（0，0，1）；
（2）面PAB的法向量為（0，1，0）；
（3）由B（3，0，0），C（3，3，0），P（0，0，3）．
∴$\overrightarrow{PB}$=（3，0，-3），$\overrightarrow{PC}$=（3，3，-3），
設(shè)平面PBC是法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=0}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{3x-3z=0}\\{3x+3y-3z=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{n}$=（1，0，1）；
（4）由（3）同理可得：平面PCD的法向量為：$\overrightarrow{m}$=（0，1，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面垂直的性質(zhì)、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．