Question

13．設(shè)向量$\overrightarrow{a}$=（2cosx，-2sinx），$\overrightarrow$=$（3cosx，\sqrt{3}cosx）$，f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間和圖象的對稱中心坐標；
（2）在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且f（C）=0，c=1，求a+b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由平面向量數(shù)量積的運算及三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡函數(shù)解析式可得f（x）=2$\sqrt{3}$cos（2x+$\frac{π}{6}$）+3，利用余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求解函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間和圖象的對稱中心坐標；
（2）由f（C）=0，且C為銳角，由余弦函數(shù)的圖象可求C，由正弦定理可解得a+b=2sin（A+$\frac{π}{6}$），求得A的范圍，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)即可得解．

解答 解：（1）$f（x）=6{cos^2}x-2\sqrt{3}sinxcosx=2\sqrt{3}cos（2x+\frac{π}{6}）+3$，
所以由2x+$\frac{π}{6}$∈[2kπ-π，2kπ]，k∈Z可解得f（x）的單調(diào)增區(qū)間為$[kπ-\frac{7π}{12}，kπ-\frac{π}{12}]（k∈Z）$，
由2x+$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z可解得對稱中心為：$（\frac{kπ}{2}+\frac{π}{6}，3）（k∈Z）$．
（2）由f（C）=0，得$cos（2C+\frac{π}{6}）=-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∵C為銳角，
∴$\frac{π}{6}＜2C+\frac{π}{6}＜\frac{7π}{6}$，
∴$2C+\frac{π}{6}=\frac{5π}{6}$，$C=\frac{π}{3}$．
由正弦定理得，a+b=$\frac{a}{c}+\frac{c}=\frac{sinA+sinB}{sinC}=\frac{{sinA+sin（\frac{2π}{3}-A）}}{{sin\frac{π}{3}}}$=$\frac{2}{{\sqrt{3}}}（sinA+\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosA+\frac{1}{2}sinA）=2sin（A+\frac{π}{6}）$∴△ABC是銳角三角形，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{0＜A＜\frac{π}{2}}\\{0＜\frac{2π}{3}-A＜\frac{π}{2}}\end{array}}\right.$，得$\frac{π}{6}＜A＜\frac{π}{2}$．
所以$sin（A+\frac{π}{6}）∈（\frac{{\sqrt{3}}}{2}，1]$，
從而a+b的取值范圍為$（\sqrt{3}，2]$．

點評 本題主要考查了平面向量數(shù)量積的運算及三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，考查了正弦函數(shù)，余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查了正弦定理在解三角形中的應(yīng)用，綜合性較強，屬于中檔題．