Question

1．設(shè)△ABC的三個(gè)內(nèi)角分別為A，B，C．向量$\overrightarrow{m}$=（1，cos$\frac{C}{2}$）與$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$sin$\frac{C}{2}$+cos$\frac{C}{2}$，$\frac{3}{2}$）共線．
（Ⅰ）求角A，B，C的大�。�
（Ⅱ）設(shè)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且滿足2acossC+c=2b，試判斷△ABC的形狀．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由向量$\overrightarrow{m}$與$\overrightarrow{n}$共線，可得$\frac{3}{2}$=cos$\frac{C}{2}$（$\sqrt{3}$sin$\frac{C}{2}$+cos$\frac{C}{2}$），解得sin（C+$\frac{π}{6}$）=1，結(jié)合范圍C∈（0，π），可求C的值．
（Ⅱ）由已知a+c=2b 根據(jù)余弦定理可得b（b-a）=0，b＞0，解得：b=a，$C=\frac{π}{3}$，可得△ABC為等邊三角形．

解答 （本題滿分為12分）
解：（Ⅰ）∵$\overrightarrow{m}$與$\overrightarrow{n}$共線，
∴$\frac{3}{2}$=cos$\frac{C}{2}$（$\sqrt{3}$sin$\frac{C}{2}$+cos$\frac{C}{2}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinC+$\frac{1}{2}$（1+cosC）=sin（C+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$．（3分）
∴解得：sin（C+$\frac{π}{6}$）=1，
∵C∈（0，π），C+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$），
∴解得C=$\frac{π}{3}$．   …（6分）
（Ⅱ）由已知a+c=2b 根據(jù)余弦定理可得：c²=a²+b²-ab，…（8分）
聯(lián)立解得：b（b-a）=0，b＞0，
解得：b=a，$C=\frac{π}{3}$，
所以△ABC為等邊三角形，…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，考查了正弦定理，余弦定理，三角形內(nèi)角和定理在解三角形中的應(yīng)用，熟練掌握和靈活應(yīng)用相關(guān)公式定理是解題的關(guān)鍵，屬于基本知識(shí)的考查．