Question

13．已知矩形ABCD中，$AB=\sqrt{2}$，BC=1，則$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{DB}$=（　　）

• A． 1
• B． -1
• C． $\sqrt{6}$
• D． $2\sqrt{2}$

Answer 1

分析 法一、以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，得到點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)一步求得向量$\overrightarrow{AC}、\overrightarrow{DB}$的坐標(biāo)得答案；
法二、以$\overrightarrow{AB}、\overrightarrow{AD}$為基底，把$\overrightarrow{AC}、\overrightarrow{DB}$用基底表示，則$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{DB}$可求．

解答 解：法一、如圖，
以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，
則A（0，0），$B（\sqrt{2}，0）$，$C（\sqrt{2}，1）$，D（0，1），
∴$\overrightarrow{AC}=（\sqrt{2}，1）$，$\overrightarrow{DB}=（\sqrt{2}，-1）$，
則$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{DB}=2-1=1$．
故選：A．
法二、記$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow a$，$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow b$，
則$\overrightarrow a•\overrightarrow b=0$，$|{\overrightarrow a}|=\sqrt{2}$，$|{\overrightarrow b}|=1$，
∴$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{DB}=（\overrightarrow a+\overrightarrow b）•（\overrightarrow a-\overrightarrow b）$=${\overrightarrow a^2}-{\overrightarrow b^2}=2-1=1$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，解答此類問題常用兩種方法，即建系法或利用平面向量基本定理解決，建系法有時(shí)能使復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化，是中檔題．