Question

4．定義在[0，+∞）的函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），對(duì)于任意的x≥0，恒有f′（x）＞f（x），a=e³f（2），b=e²f（3），則a，b的大小關(guān)系是（　　）

• A． a＞b
• B． a＜b
• C． a=b
• D． 無法確定

Answer 1

分析 構(gòu)造新函數(shù)$g（x）=\frac{{e}^{5}f（x）}{{e}^{x}}$，研究其單調(diào)性即可．

解答 解：令g（x）=f（x）•e^5-x
則$g（x）=\frac{{e}^{5}f（x）}{{e}^{x}}$，
$g′（x）=\frac{{e}^{5}[f′（x）{e}^{x}-f（x）{e}^{x}]}{{e}^{2x}}$
=$\frac{{e}^{5}[f′（x）-f（x）]}{{e}^{x}}$
對(duì)任意的x≥0，f′（x）＞f（x），e^x＞0，
∴g′（x）＞0，即g（x）在定義域上是增函數(shù)，
∴g（2）＜g（3）
故答案選：B

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的單調(diào)性，構(gòu)造新函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．