Question

9．已知函數(shù)f（x）=log₂（2|x+1|+|2x+m|-m）
（I）當(dāng)m=6時，求函數(shù)f（x）的定義域；
（Ⅱ）當(dāng)函數(shù)f（x）的值域為R時，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）當(dāng)m=6時，函數(shù)f（x）=log₂（|2x+2|+|2x+6|-6），求出|2x+2|+|2x+6|-6＞0的解集可得函數(shù)f（x）的定義域；
（Ⅱ）當(dāng)函數(shù)f（x）的值域為R時，2|x+1|+|2x+m|-m的最小值|2-m|-m≤0，解得實數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（I）當(dāng)m=6時，函數(shù)f（x）=log₂（|2x+2|+|2x+6|-6），
由|2x+2|+|2x+6|-6=0得：x=-$\frac{1}{2}$，或x=-$\frac{7}{2}$，
故|2x+2|+|2x+6|-6＞0的解集為：（-∞，-$\frac{7}{2}$]∪[-$\frac{1}{2}$，+∞），
故函數(shù)f（x）的定義域為：（-∞，-$\frac{7}{2}$]∪[-$\frac{1}{2}$，+∞），
（Ⅱ）2|x+1|+|2x+m|-m=|2x+2|+|2x+m|-m≥|（2x+2）-（2x+m）|-m=|2-m|-m，
若函數(shù)f（x）的值域為R，
則|2-m|-m≤0，即|2-m|≤m，
即-m≤2-m≤m，
解得：m≥1

點評 本題考查的知識點是函數(shù)的定義域，函數(shù)的值域，函數(shù)的最值，絕對值三角不等式，難度中檔．