Question

14．已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ，以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，直線l的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{3}}{2}t+m}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t是參數(shù)）
（I）將曲線C的極坐標(biāo)方程和直線1的參數(shù)方程化為普通方程；
（Ⅱ）若直線l與曲線C相交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P（m，0），若|PA|•|PB|=5，求實(shí)數(shù)m的值．

Answer 1

分析 （I）曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ，即ρ²=4ρcosθ，利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$，即可化為直角坐標(biāo)方程，對于直線l的參數(shù)方程消去參數(shù)t即可化為普通方程；
（II）把直線l的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{3}}{2}t+m}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t是參數(shù)），代入圓C的方程可得：t²+$\sqrt{3}（m-2）t$+m²-4m=0，利用|PA|•|PB|=|t₁t₂|，即可得出．

解答 解：（I）曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ，即ρ²=4ρcosθ，化為x²+y²=4x．
直線l的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{3}}{2}t+m}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t是參數(shù)），消去t化為：x-$\sqrt{3}y$-m=0．
（II）把直線l的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{3}}{2}t+m}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t是參數(shù)），代入圓C的方程可得：t²+$\sqrt{3}（m-2）t$+m²-4m=0，
∴t₁t₂=m²-4m，
∴|PA|•|PB|=5=|t₁t₂|=|m²-4m|，
解得m=5或-1．

點(diǎn)評 本題考查了極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)的方法、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線參數(shù)方程的應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．