Question

7．如圖，已知B、C是二面角α-l-β棱上兩點AB?α，AB⊥l，CD?β，CD⊥l，AB=BC=1，CD=$\sqrt{3}$，AD=2$\sqrt{2}$，則二面角α-l-β的大小是150°．

Answer 1

分析 將向量 $\overrightarrow{AD}$轉(zhuǎn)化成  $\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BD}$+$\overrightarrow{DC}$，然后等式兩邊同時平方表示出向量 $\overrightarrow{AD}$、$\overrightarrow{CD}$的模，再根據(jù)向量的數(shù)量積求出向量 $\overrightarrow{CD}$與 $\overrightarrow{BA}$的夾角，而兩個向量 的夾角大小就是二面角的大�。�

解答 解：由條件，知AB⊥l，$\overrightarrow{BC}$•$\overrightarrow{AB}$=0，CD⊥l可得：$\overrightarrow{BC}$•$\overrightarrow{CD}$=0，$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{CD}$，
AB=BC=1，CD=$\sqrt{3}$，AD=2$\sqrt{2}$，
所以$\overrightarrow{AD}$²=$\overrightarrow{AB}$²+$\overrightarrow{BC}$²+$\overrightarrow{CD}$²+2$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BC}$+2$\overrightarrow{BC}$•$\overrightarrow{CD}$+2$\overrightarrow{CD}$•$\overrightarrow{AB}$
=1+1+3+2×1×$\sqrt{3}$cos＜$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{CD}$＞=8
∴cos＜$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{CD}$＞=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
所以＜$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{CD}$＞=30°，＜$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{CD}$＞=150°
所以二面角的大小為150°
故答案為：150°．

點評 本題主要考查了二面角的計算，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，屬于中檔題．