Question

4．設(shè)函數(shù)f（x）=lnx+$\frac{m}{x}$，m∈R，若對(duì)任意b＞a＞0，$\frac{f（b）-f（a）}{b-a}$＜1恒成立，則m的取值范圍為[$\frac{1}{4}$，+∞）．

Answer 1

分析 由b＞a＞0，$\frac{f（b）-f（a）}{b-a}$＜1恒成立，等價(jià)于f（b）-b＜f（a）-a恒成立；即h（x）=f（x）-x在（0，+∞）上單調(diào)遞減；h′（x）≤0，求出m的取值范圍．

解答 （Ⅲ）對(duì)任意b＞a＞0，$\frac{f（b）-f（a）}{b-a}$＜1恒成立，
等價(jià)于f（b）-b＜f（a）-a恒成立；
設(shè)h（x）=f（x）-x=lnx+$\frac{m}{x}$-x（x＞0），
則h（b）＜h（a）．
∴h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減；
∵h(yuǎn)′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{m}{{x}^{2}}$-1≤0在（0，+∞）上恒成立，
∴m≥-x²+x=-（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{4}$（x＞0），
∴m≥$\frac{1}{4}$；
對(duì)于m=$\frac{1}{4}$，h′（x）=0僅在x=$\frac{1}{2}$時(shí)成立；
∴m的取值范圍是[$\frac{1}{4}$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用問題，解題時(shí)應(yīng)根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)的增減性以及求函數(shù)的極值和最值，應(yīng)用分類討論法，構(gòu)造函數(shù)等方法來解答問題．