Question

4．設函數(shù)f（x）=lnx+$\frac{m}{x}$，m∈R，若對任意b＞a＞0，$\frac{f（b）-f（a）}{b-a}$＜1恒成立，則m的取值范圍為[$\frac{1}{4}$，+∞）．

Answer 1

分析 由b＞a＞0，$\frac{f（b）-f（a）}{b-a}$＜1恒成立，等價于f（b）-b＜f（a）-a恒成立；即h（x）=f（x）-x在（0，+∞）上單調(diào)遞減；h′（x）≤0，求出m的取值范圍．

解答 （Ⅲ）對任意b＞a＞0，$\frac{f（b）-f（a）}{b-a}$＜1恒成立，
等價于f（b）-b＜f（a）-a恒成立；
設h（x）=f（x）-x=lnx+$\frac{m}{x}$-x（x＞0），
則h（b）＜h（a）．
∴h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減；
∵h′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{m}{{x}^{2}}$-1≤0在（0，+∞）上恒成立，
∴m≥-x²+x=-（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{4}$（x＞0），
∴m≥$\frac{1}{4}$；
對于m=$\frac{1}{4}$，h′（x）=0僅在x=$\frac{1}{2}$時成立；
∴m的取值范圍是[$\frac{1}{4}$，+∞）．

點評 本題考查了導數(shù)的綜合應用問題，解題時應根據(jù)函數(shù)的導數(shù)判定函數(shù)的增減性以及求函數(shù)的極值和最值，應用分類討論法，構(gòu)造函數(shù)等方法來解答問題．