Question

10．如圖，已知點C是圓心為O半徑為1的半圓弧上從點A數(shù)起的第一個三等分點，AB是直徑，CD=1，直線CD⊥平面ABC．
（1）證明：AC⊥BD；
（2）在DB上是否存在一點M，使得OM∥平面DAC，若存在，請確定點M的位置，并證明之；若不存在，請說明理由；
（3）求點C到平面ABD的距離．

Answer 1

分析 （1）證明AC⊥平面BCD，即可證明AC⊥BD；
（2）當M為棱DB中點時，OM∥平面DAC，利用線面平行的判定定理，即可證明；
（3）利用V_C-ABD=V_D-ABC，求點C到平面ABD的距離．

解答 （1）證明：∵CD⊥平面ABC，AC?平面ABC，
∴CD⊥AC．（1分）
∵點C在圓O上，AB是直徑，
∴AC⊥BC．（2分）
又∵CD∩BC=C，∴AC⊥平面BCD．（3分）
又∵BD?平面BCD，∴AC⊥BD．（4分）
（2）當M為棱DB中點時，OM∥平面DAC．（5分）
證明：∵M，O分別為DB，AB中點，∴OM∥AD，（6分）
又AD?平面DAC，OM?平面DAC，∴OM∥平面DAC．（7分）
（3）解：∵點C是圓心為O半徑為1的半圓弧上從點A數(shù)起的第一個三等分點，
∴∠AOC=60°，而OA=OC=1，于是，AC=1，（8分）
∵AB是直徑，∴AC⊥BC，于是，$BC=\sqrt{A{B^2}-A{C^2}}=\sqrt{{2^2}-{1^2}}=\sqrt{3}$．
∵直線CD⊥平面ABC，所以，CD⊥AC，CD⊥BC，$AD=\sqrt{A{C^2}+C{D^2}}=\sqrt{{1^2}+{1^2}}=\sqrt{2}$，$BD=\sqrt{B{C^2}+C{D^2}}=\sqrt{3+1}=2$．（9分）
∵AB=2=BD，
設(shè)點E是AD的中點，連接BE，則BE⊥AD
∴$BE=\sqrt{A{B^2}-A{E^2}}=\sqrt{{2^2}-{{（\sqrt{2}/2）}^2}}=\sqrt{7/2}$，（10分）
${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}AC•BC=\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，（11分）
${S_{△ABD}}=\frac{1}{2}AD•BE=\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{\frac{7}{2}}=\frac{{\sqrt{7}}}{2}$．（12分）
∵V_C-ABD=V_D-ABC，（13分）
設(shè)點C到平面ABD的距離為h，則有$\frac{1}{3}{S_{△ABD}}•h=\frac{1}{3}{S_{△ABC}}•CD$，即$\frac{{\sqrt{7}}}{2}•h=\frac{{\sqrt{3}}}{2}×1$，
∴$h=\frac{{\sqrt{21}}}{7}$，即點C到平面ABD的距離為$\frac{{\sqrt{21}}}{7}$．（14分）

點評 本題考查線面垂直、平行的判定與性質(zhì)，考查點面距離的計算，正確運用線面垂直、平行的判定與性質(zhì)是關(guān)鍵．